विखंडन पद्धत: बदल मोजण्याची गुरुकिल्ली (Differentiation or derivatives: A tool to measure the rate of change)

बदल हा सृष्टीचा स्वभावधर्मच आहे. दिवसा मागून रात्र, उन्हाळ्याच्या झळांवर पाऊसधारांचा उतारा, शैशव-तारुण्य-वार्धक्य, चांगल्या अनुकूल काळानंतर येणारा संकट काळ अशा सृष्टीत नेमाने चालणऱ्या बदलांचा विक्रमाला पुरेसा अनुभव होताच. एक राजा असला तरीही तो एक माणूसच होता, सततच्या युद्धांनंतर त्याच्या प्रजेप्रमाणेच तो ही विश्रांतीसाठी आसुसला होता. पण तरीही त्याला पराभूत शत्रूच्या मनसुब्यांची, त्याच्या लहान सहान हालचालींची, व्यूहात्मक बदलांची माहिती ठेवावीच लागत होती. दुसरीकडे राज्यातील नद्यांना पूर आले होते. त्याचे पाणी शेती आणि घरांना वाहून नेते की काय अशी भिती निर्माण झाली होते. त्यामुळे नदीच्या पाण्याच्या पातळीत क्षणाक्षणाला होणाऱ्या बदलांची बित्तमबातमी तो ठेवत होता. त्याच विचारांमध्ये तो गर्क होता.
 
“हेरे काय राजा, कुठल्या तारेत चाललायस? आजकाल तुझ्या पाठीवर बसलो तरीही तुझ्या चालण्याच्या वेगात काही फरक नाही. एकसमान, एकाच लयीत चालत जातोस. पण ते जाऊदे. राजा आता मी तुला एक यक्षप्रश्नच विचारतो. इतके दिवस तू मला वेगवेगळ्या भुतांना मोजण्यासाठी तुम्हा माणसांनी तयार केलेल्या विविध परिमाणांची (Units of measure) माहिती देतोस. त्यासाठी भरभरून बोलतोस. विस्थापनाला (displacement) मीटर, वेगाला (velocity) मी/सेकंद, त्वरण/मंदनाला(acceleration) मी/सेकंद२, संवेगाला(momentum) किग्रा मी/सेकंद आणि वजनासाठी न्यूटन. पण हे मोजमाप ती भौतिक राशी एकसमान असेल तो पर्यंत कायम राहणार नाहीतर क्षणाक्षणाला बदलणार. तुम्हा माणसांच्या क्षणभंगुर जीवनाला अशी स्थिर राहणारी मापे कशी जमणार. तुमच्या मनातल्या क्षणिक टिकणाऱ्या विचारांसारखीच विस्थापने, वेग, त्वरण/मंदन, संवेग कायम बदलत राहणार. मग तुम्ही दर क्षणाला बदलणाऱ्या गोष्टी मोजण्यासाठी काही शक्कल लढवलीच असेलच ना? काय आहे ती शक्कल? लवकर सांग मला. नाहीतर तुझ्या डोक्याची शकले झालीच म्हणून समज..मला क्षणाचाही काळ लागायचा नाही तुझं क्षणभंगूर आयुष्य संपवायला!”   
 
“वेताळा, एखादी वस्तू जागच्या जागीच बसून राहिली असती तर पुढचे प्रश्नच नसते आले. पण सारा घोळ झालाय तो त्या बाहेरच्या बलाने ढकलल्या मुळेच. या बलामुळेच ती वस्तू  ती आरंभी जिथे होती, ज्यावेळी होती त्या पुढील काळात मूळ जागेपासून दुसरीकडे जाते (change in terms of space against the change in terms of time ) आणि सारी भुते तुटून पडतात. हे जे बदल होतात ते त्या बदलासाठी लागलेल्या काळाच्या संदर्भात मोजले जातात. शिवाय हे एकसमान गतीने होतीलच असेही नाही. म्हणूनच हे बदल(Δs) काळाच्या लहान लहान भागांच्या (Δt) किंवा तुकड्यांच्या हिशोबात मोजावे लागतात. काळाचा हा भाग एका युगा पासून एका क्षणापर्यंत कितीही बदलता येऊ शकतो. या पद्धतीलाच विकलन, विखंडन (differentiation) पद्धत म्हणतात.”
 
“झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू. नीट उलगडून सांग”
 
“याचा अर्थ कुठल्याही बदलाचे कालसापेक्ष लहान लहान तुकडे करत जाणे आणि काळाच्या त्या लहानशा तुकड्यात किती बदल झाले ते  पाहणे. थोडक्यात स्थूलातून सूक्ष्मात जाणे (zoom in). यालाच त्या बदलाचा दर असेही आपण म्हणतो. पण हा सरासरी दर नाही. असं बघ वेताळा, समोरून एखादा डोंगर तुला दिसतो आणि तू म्हणतोस अरे हा डोंगर तर हिरवागार आहे. हे झाले ढोबळ विधान.
 
पण कोणी विचारले की या डोंगरावरील हिरवळीचे प्रमाण कसे कसे बदलते हे सांग तर तुला निव्वळ हिरवेगार असे म्हणून नाही भागणार. तर तुला त्या डोंगराच्या पायथ्यावर, माथ्यावर, उंचीच्या प्रत्येक लहान लहान टप्प्यावर, प्रत्येक ठिकाणी किती झाडी आहे याचा अभ्यास करावा लागतो. यासाठी आपण त्या डोंगराचे लहान लहान चौकोनात विभाजन केले आणि त्या चौकोनातील झाडांच्या संख्येनुसार त्या चौकोनाला गडद हिरव्यापासून(दाट झाडी) ते हिरवट पांढऱ्यापर्यंत (अतिविरळ झाडी) रंग दिला तर ते चित्र खालील प्रमाणे दिसेल. यात आपल्याला हे लक्षात आले की डोंगराचा रंग हिरवाच असला तरीही आता त्याला छटा आल्या. ढोबळ हिरव्या डोंगरापासून ते डोंगराच्या वेगवेगळ्या भागावरील झाडीच्या वेगवेगळ्या हिरव्या छटा  काढत येणे यालाच विकलन किंवा विखंडन म्हणतात. तुला हेही लक्षात येईल की चोकोनाचा आकार जसा जसा लहान होत जाईल तस तसा डोंगरावरील हिरवाईत होणाऱ्या बदलाचे अधिकाधिक कंगोरे आपल्याला लक्षात येऊ लागतील. एकुणात काय तर ढोबळमाना कडून सूक्ष्मतेकडे जाणे व सूक्ष्मातील बदलांचे कंगोरे पाहणे हा या विखंडन पद्धतीचा मूलभूत विचार होय.”
 
“म्हणजे राजा बदल केवळ कालसापेक्षच असला पाहिजे असे नाही?”
 
“अगदी योग्य. नक्की कशातला बदल मोजायचा आहे आणि कशाच्या संदर्भात मोजायचा आहे हे मोजणाऱ्याने ठरवायचे. मग एखाद्या माणसाचे केस आधी काळे होते ते कसेकसे पांढरे होत गेले, भुंग्याने लाकूड किंवा घुशीने जमीन कशी पोखरत नेली, राज्याचा आकार कसा वाढत किंवा घटत गेला, दर वर्षीचे उत्पन्न कसेकसे बदलत गेले, नदीला आलेल्या पुराचे पाणी दिवसेंदिवस कसे पसरत गेले, जंगलतोडीमुळे डोंगरावरील हिरवाई वरचेवर कशी कमी होत गेली, शत्रुसैन्याची सीमेवरील मोर्चेबंदी आणि युद्धाची तयारी वरचेवर कशी बदलत गेली या कशाचाही समावेश होऊ शकतो. यात बदलाचा स्थलसापेक्ष दर म्हणजे झाडांची विभागवार घनता, शत्रूची जागोजागची मोर्चेबांधणी, शेतीचे विभागवार उत्पन्न किंवा काल सापेक्ष बदल म्हणजे प्रतिवर्षीचे पर्जन्यमान, प्रतिवर्षीचे उत्पन्न, दरमहिन्याची आवक, दर आठवड्याची राज्यात येणाऱ्यांची संख्या, दर दिवसाचे मजुरांचे उत्पन्न, दर तासाला शत्रूसैन्याची होणारी आगेकूच, दर मिनिटाला पडणारे हृदयाचे ठोके, दर सेकंदाला होणारे…”
 
“पुरे पुरे..पण राजा म्हणजे यात मोजणाऱ्यानेच सर्व ठरवायचे..पण यात संख्यात्मक बदल (quantitative change) आणि गुणात्मक बदल (qualitative change) यांच्या बदलाचा दर कसा मोजायचा?”
 
“एक समजायला सोपे उदाहरण घेऊ. समुद्रकिनाऱ्यावर एक मुंगी आहे. तेथील एका नारळाच्या झाडावर चढून तिला नारळपाणी चाखायचे आहे. तर त्या झाडावर चढताना तिचा वेग कसा कसा बदलत होता? याचा अभ्यास आपण संख्यात्मक आणि गुणात्मक दोन्ही पद्धतीने करू शकतो.”
 
केवळ संख्यात्मक दृष्टीने पाहिल्यास, हे नारळाचे झाड चढण्यासाठी मुंगीला २४ पायऱ्या चढाव्या लागतील. पण गुणात्मक दृष्टीने पाहिल्यास मात्र प्रत्येक पायरीसाठी मुंगीला कापावे लागलेले अंतर, त्यासाठी तिला पार करावे लागलेले चढ-उतार, सोसावे लागलेले ऊन-पाऊस, गुरुत्वाकर्षणाविरुद्ध लावावी लागलेली ताकद या आणि अशा सर्वच गोष्टींचा विचार करावा लागतो”
 
“विक्रमा केवळ मुंगीने केलेल्या विस्थापनाबद्दलच बोल..त्यासाठी लागलेल्या सूक्ष्मकाळाबद्दल बोल..म्हणजेच त्या क्षणिक वेगाबद्दल बोल..”
 
“होय वेताळा..त्या प्रत्येक पायरी वरील सूक्ष्म अंतर, त्यासाठी लागलेला सूक्ष्म काळ, पर्यायाने त्या पायरीवरचा सूक्ष्मकाळासाठीचा वेग खालील प्रमाणे..”
 
पायरी क्र.
सूक्ष्म अंतर (Δs)
लागलेला वेळ (Δt) (seconds)
क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second
पायरी क्र.
सूक्ष्म अंतर (Δs)
लागलेला वेळ (Δt) (seconds)
क्षणिक वेग (Δv = Δs/ Δt ) cm/second
3 cm
2
1.5
१३
2cm
2
1
3cm
2
1.5
१४
1.5cm
1
1.5
4cm
2.5
1.6
१५
2.5cm
1
2.5
3cm
2
1.5
१६
1cm
2
.5
3cm
2
1.5
१७
1.5cm
1
1.5
2cm
1.5
1.34
१८
2cm
.5
4
4cm
3
1.34
१९
2cm
3
.67
2cm
2
1
२०
2.5cm
1
2.5
2cm
3
.67
२१
.75cm
3
.25
१०
3cm
2
1.5
२२
.75cm
3
.25
११
2cm
2
1
२३
.75cm
2
.4
१२
3cm
4
.75
२४
.5cm
2
.25
आपण हीच गोष्ट आलेखातूनही पाहू शकतो..
 
 
 
तिच्या पूर्ण प्रवासातील पायरीगणिक बदलणारे अंतर, त्यासाठी लागलेला काळ आणि त्या पायरीसाठीचा वेग या सर्व गोष्टी वरील आलेखात स्पष्ट दिसतात. हे झालं तुझ्या प्रश्नाचं उत्तर…हीच ती बदलाचा दर(rate of change) मोजण्याची गुरुकिल्ली”
 
“पण विक्रमा हे जे काही तू सांगितलंस, ही जी काही लांबड लावलीस ती तू आलेखाच्या भाषेत आधीच सांगू शकला असतास..पण तरीही हा बदलाचा दर तू भूमितीच्या भाषेत सांगू शकतोस का? पण आज तरी मला ते ऐकायला वेळ नाही. हा मी निघतो…पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ
 
वेताळाचा आवाज जसा हवेत विरत गेला तसे पलिकडील एका झाडावर बसलेला विक्रमाच्या गुप्तहेर पथकातला एक घुबड जोरजोरात किंचाळत जाणाऱ्या टिटवीला ओरडला “ए टिटवे, अगं किती जोरात ओरडतेस? पण तुला माहित आहे का की तू कितीही जोरात ओरडलीस तरीही तुझा आवाज काही अंतरावर गेला की हळू हळू बारीक होत जातो..किती बारीक होतो माहित आहे का तुला?”
 
“अरे घुबडा, हेर तू आहेस..विखंडन पद्धत शिकलास ना? वापर मग…” टी टी टी करत आणि कुत्सित पणे हसत टिटवी निघून गेली…
 

(क्रमश:)

मुख्य पान: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

Advertisements