जोडलेल्या स्थायूंमधील ओढाताण | उदाहरण लंबकाचे टिक-टॉक (Force balance in attached solids | Example: Oscillations of a pendulum)

जगात अनेक गोष्टी या जोडीने चालत येतात. दिवस-रात्र, श्रीमंती-गरिबी, चांगला-वाईट काळ, क्रीयांमागून प्रतिक्रीया, सुख-दु:ख, शाखाहारी-मांसाहारी प्राणी हे सारेच जोडीने येणारे साथी. यात दोघांनाही तितकेच महत्त्व. एखाद्यात खूप गुण असावेत पण एका  अवगुणाद्वारे सर्व डोलारा कोसळावा. दिवसभर उन्हाचे चटके सोसल्यावर रात्रीने चांदण्याची शीतलता अंथरावी व हळुवार थंड वाऱ्यांची झुळुक फिरवावी. पुन्हा रात्री आलेला आळस जाऊन चैतन्य पसरावं म्हणून सूर्याने क्षितिजे उजळावी. अनेक वर्षांच्या वाईट काळानंतर एकदम चांगला काळ यावा. यातून निसर्गातलं समतोलाचं तत्वच सिद्ध होत असावं का? कोणत्याही गोष्टीच्या मागे लगेच दुसरी गोष्ट येण्यामागे हे समतोलाचं, सांभाळ करण्याचं, कोणतंही टोक गाठू न देण्याचं प्रयोजन असावं का?
 
“विक्रमा, फारच रे चिंतनशील राजा तू..जोडीने येणाऱ्या गोष्टींसाठी इतका खल करतोयस. पण हे नेहमीच समतोलाचं तत्व असतं का रे यात? सजीव प्राण्यांचं सोड, दोन किंवा त्यापेक्षा जास्त निर्जीव द्रव्ये एकमेकाला जोडली आहेत तर त्यांच्यातही समतोल साधला जाईल? क्रीया-प्रतिक्रीयेचे नियम वगैरे आहेत. पण दोन किंवा अधिक द्रव्ये जेव्हा बरोबर असतात तेव्हा हे कसं होत?”
 
“वेताळा, याचं आधी तत्व सांगतो. प्रशस्तपादांनी म्हटल्याप्रमाणे
द्रव्यादीनां त्रयाणामपि सत्तासम्बन्ध:, सामान्याविशेषवत्वम्, स्वसमयार्थशब्दाभिधेयत्वम्, धर्म्माधर्म्मकर्त्तुत्वञ्च ||15||
म्हणजे पदार्थामधले द्रव्य, त्या द्रव्यांचे गुण आणि त्या द्रव्यांच्या हालचाली यांचा पदार्थाच्या स्थितीशी संबंध असतो, त्या द्रव्यांचे अविभाज्य घटक असतात, त्या द्रव्याचे वर्गीकरण करता येते,त्यांच्या स्थितीला शब्दात मांडता येते आणि ही द्रव्ये दुसऱ्या द्रव्यांना सहाय्यभूत होऊ शकतात किंवा विरोधही करू शकतात.
 
कार्य्यत्वानित्यत्वे कारणवतामेव ‌||16||
दुसऱ्या कशाचातरी परिणाम म्हणून निर्माण होणे आणि निश्चित काळापुरतंच अस्तित्व असणे हे फक्त द्रव्य, गुण व कर्म यांनाच लागू आहे. थोडक्यात काय तर ही मूर्त आकाराची द्रव्ये , त्यांचे गुण व त्यांच्या हालचाली क्षणभंगूरच असतात. म्हणजे जर दोन द्रव्ये ही एकमेकांना जोडलेली असली तर ती एखाद्या बाहेरून काम करणाऱ्या मनाच्या संयोगामुळे एकमेकांवर परिणाम करणारच करणार.
“कसला परिणाम?”
 
“म्हणजे बघ, एक लाकडाची काठी घेउन त्याला तू एक ताणला जाणारा दोरा लावला तर त्यातून एक धनुष्य तयार होतं. यात काठी वाकवल्यामुळे म्हणजे आकुंचनामुळे त्यात काही शक्ती साठवली गेली. तसेच दोरा ताणून लावल्यामुळे त्यात काही शक्ती साठवली गेली. हा झाला स्थायूंचा संयोग. ते धनुष्य स्थिर स्थितीतच राहिल. जेव्हा एखादा बाण त्या दोरीवर लावला, थोडा मागे घेउन सोडला तर ही साठवलेली शक्ती बाणाला मिळेल व तो सुसाट जाईल.”
 
 
 
“पण काय सगळेच स्थायु असे ताणून शक्ती लावतात?”
 
“नाही, दुसरा प्रकार म्हणजे संपर्कातून बळ लावणे. हे बघ एका खडबडीत उतारावर एक लोखंडाचा ठोकळा ठेवला आहे. खरेतर गुरुत्वबळामुळे गडगळत गेला असता. पण उताराशी त्याची एक बाजू घासली गेल्याने तो पुढे हालत नाही. हे घसरण्याला विरोध करणारे बळ(sliding friction). आता यात भर म्हणजे एक लोखंडाचा गोळा त्या ठोकळ्याच्या आधी ठेवला तर तो गोळा त्या ठोकळ्याला खाली ढकलण्याचा प्रयत्न करतो व ठोकळा त्या गोळ्याच्या ढकलण्याला विरोध करतो.”
 
“अच्छा हेच का ते धर्म व अधर्म कर्तृत्व? दुसऱ्या वस्तूच्या नैसर्गिक गतीला बळ देणे हे धर्मकर्त्रृत्व व त्याला विरोध करणे हे अधर्मकर्तृत्व. म्हणजे हे घर्षणबळ संपर्कातल्या स्थायूने दिलेली प्रतिक्रीयाच असते तर..”
 
हे बघ वेताळा दोन किंवा अधिक द्रव्ये एकमेकांशी जोडलेली असतात आणि जेव्हा त्यांच्यावर कोणतेतरी बळ बाहेरून लावले जाते तेव्हा त्यांच्यातली काही एका बाजूला झुकतात व काही दुसऱ्या बाजूला. हे जे दोन वेगळ्या पद्धतीनं वागणं होतं हाच तर त्यांचा धर्म किंवा वागण्याची पद्धत. पण त्या हालचालींतून सुध्दा ती त्या बाहेरून आलेल्या बळाला प्रतिसाद देतातच. क्रीया-प्रतिक्रीयेचा नियम पाळला जातोच.
अरे विक्रमा काय युद्धाबद्दल वगैरे बोलतोय का आपण? दुसरं उदाहरण दे..”
 
बर एक उदाहरण देतो. एक दोरा घेतला, तो एका आकड्या ला वर बांधला आणि त्याच्या दुसऱ्या टोकाला एक लाकडी चेंडू टांगला. जेव्हा असं नुसतंच टांगून ठेवतो तेव्हा आत नक्की काय होत असतं माहितीये?
“कुठे काय होतंय ? सारं कसं शांत, शांत निपचित आहे !!”
 
“पदार्थ विज्ञानाच्या भाषेत त्या तिन्ही स्थायूंवर पृथ्वी चं गुरुत्व बळ काम करतंय, सर्वांना खाली खेचण्याचा प्रयत्न करतंय. यामुळे तो लाकडी चेंडू ओढला जातोय. तो ओढला गेला की जोडलेल्या दोऱ्याला ओढ बसतेय. दोऱ्याला ओढ बसली की खिळ्याला ओढ बसतेय. पण ही ओढ बसली तरी चेंडू आणि आकडा यांच्या आकारात काही फरक होत नाही. पण दोर्यावर मात्र प्रसरण करणारे बळ चेंडू कडून लावले जातेय. पण दोर्याची लांबी काही वाढत नाही, दोरा ती वाढू देत नाही. मग यासाठी तो चेंडूला ओढणारे बळ लावतो व आपली लांबी कायम ठेवतो.  हेच ते आकुंचन बळ. त्यामुळे या परिस्थितीत गुरुत्व व आकुंचन बळ एकमेकांच्या विरुद्ध बाजूने काम करतायत. खिळ्याने दोऱ्याला व दोऱ्याने चेंडूला धरून ठेवलेले असल्याने तो चेंडू पडत नाहीये. स्थिर आहे.”
 
 
 
“म्हणजे आकुंचन बळ हे गुरुत्व बळाच्या विरोधात काम करतंय आणि संतुलन ठेवतंय. पण काहीच घडत नाहीये तर संतुलन कशाचं ?
 
संतुलन केवळ दोऱ्याला ओढ बसून तो तुटू नये याचं..जर दोरीला ताण असह्य झाला तर ती तुटेल व चेंडू खाली पडेल. ही दोरी ताण सहन करतीये आणि या स्थायूंच्या परिवाराला एकत्र ठेवतीये. तिच्यावर आलेला ताण आकड्यावर सुद्धा जाणवतोय. पण आकड्याने तो त्याच्यावरील भिंतीला दिल्यामुळे तो आकडा ताणला जात नाहीये. लाकडी चेंडूला थोडक्यात तो आकडाच ओढतोय. लाकडी चेंडूच्या ऐवजी अवजड लोखंडाचा गोळा लटकावला व त्याचा भार आकड्याला पेलवला  नाही तर आकडाही निखळून खाली येईल. पण सध्या सगळं ठीक आहे. हे स्थायू कुटुंब शांत आहे. समतोल साधून आहे.”
बर, पण आता कोणा खट्याळ मुलाला हा चेडू हवा आहे म्हणून त्याने तो ओढला व सोडून दिला तर काय होइल?
 
“तर मग या सर्वांना विशेषत: दोरीला आलेला ताण दिसू लागेल. त्या मुलाने चेंडूला ओढण्यासाठी जे बळ लावले त्याला गुरुत्वाकर्षण प्रतिक्रीया देइल..”
 
 
 
म्हणजे त्या मुलाने चेंडू ओढला तर त्या बळाच्या विरोधात गुरुत्वाकर्षण त्या चेंडूला खेचेल व त्याचे दोन वाटे होतील. लंबकाच्या ताणाला विरोध करणारे F gravity cos θ एवढे बळ असेल. आडवे खेचणारे F gravity sin θ एवढे बळ असेल. गुरुत्वाकर्षणाच्या दिशेपासून जसजसं हे लांब जाईल तसे हा sine वाढत जाईल. ते चेंडूला मध्यस्थानाकडे नेईल. ”
“मग काय मध्यस्थानावर आला तरी तो चेंडू थोडाच थांबणार आहे?”

“गुरुत्वाकर्षणाच्या दिशेपासून जसजसं हे लांब जाईल तसे हा sine वाढत जाईल. मध्यस्थानी गुरुत्वाकर्षण आणि हे खेचणारे बळ ९० अंशात येतील. तेव्हा sin ९० = १ या न्यायाने बळ सर्वाधिक असेल.
 
 
 
“लंबक मध्यस्थानी आला की हे  बळ वाढत जाते. वेग वाढत जातो. मध्यस्थानी तो सर्वाधिक असतो. पण होतं काय की या पुढे चेंडू पृथ्वीच्या गुरुत्वाच्या विरुद्ध दिशेत जाऊ लागल्याने त्याच्यावरील गुरुत्वाकर्षण बळ हे त्याच्यावरील ताणणाऱ्या बळाच्या विरोधात जाते. त्यामुळे चेंडूचा वेग कमी होतो. आणि एके ठिकाणी तो वेग कमी होत होत शेवटी शून्य होतो.”
 
“अरे मग आता जडत्व की काय येतं मध्यस्थानी खेचायला?”
 
“नाही, नाही. जसजसा चेंडू वर वर जाऊ लागतो तसतशी पृथ्वी त्याला मागे खेचू लागते, म्हणजेच गुरुत्वबळ तिथे कामाला लागतं आणि चेंडूला मागे खेचू लागतं. चेंडूचा वेग कमी होऊ लागतो व काही वेळाने तो शून्य झाला की चेंडू पुन्हा मध्याकडे जाऊ लागतो. परतीचा प्रवास सुरु करतो. ”
 
 
 
“अच्छा, म्हणजे एकदा का चेंडूला ओढून सोडलं की त्या दोरीतला ताण व गुरुत्वाकर्षण बळ यांच्यातली ओढाताण सारखी चालत राहणार तर..मग मला सांग की या चेंडूला एक फेरी पूर्ण करण्यासाठी लागणारा काळ तसेच त्याचं मध्यस्थानापासूनचं अंतर कशावर अवलंबून असतं? चेंडूच्या वस्तुमानावर?”
 
“नाही, नाही, दोरीच्या लांबीवर. गुरुत्वाकर्षण सर्वच वस्तूंवर सारखंच काम करत असल्याने, या आदोलनाचा कालावधी(period of oscillation) आणि मध्यस्थानापासूनचं अंशात्मक अंतर(Amplitude of oscillation) हे त्या दोरीच्या लांबीवर अवलंबून असते.”
 
“ते कसं काय?”
 
“हे बघ वेताळा, या दोरीची लांबी जेवढी जास्त तेवढा तो चेंडू मध्य स्थानापासून लांब जाणार व तेवढा जास्त कालावधी त्या चेंडूला एक फेरी पूर्ण करण्यासाठी लागणार. वेगळ्या शब्दांत सांगायचं तर दोरी जेवढी लांब तेवढा चेंडू जास्त लांब पडेल.”
 
“पण मग लाकडाचा, लोखंडाचा, कापसाचा, प्लॅस्टिकचा कशाचाही चेंडू घेतला तरीही लागलेला वेळ तेवढाच राहणार?”
 
“हो वेताळा, कारण आपण गुरुत्वाकर्षणाच्या कथेत पाहिलं की पृथ्वी कोंबडीच्या पिसाला व लोखंडाच्या गोळ्याला सारख्याच वेगाने ओढून घेते.”
 
“पण विक्रमा, यात त्याच्यावर काम करणारे बळ किती असते व ते कसे बदलते ते सांग..”

“हे बघ, समजा चेंडूचे वस्तुमान १ किलोग्राम आहे. म्हणजे त्याच्यावर काम करणारे पृथ्वीचे बळ हे F= mxg म्हणजे ९.८ N इतके झाले. लंबकाला मूळ स्थानापासून ६० अंश कोनात ओढले व तो सोडून दिला तर त्यावरील काम करणारे बळ असे असेल
θ
F sin θ
60
8.5
30
4.9
0
0
30
4.9
60
8.5
90
9.8
“अच्छा म्हणजे त्यावर काम करणारे बळ या sine च्या फलितानुसार बदलेल तर..म्हणजे या खेचक बळातील व गुरुत्वाकर्षणातील अंश जसा वाढेल तसे खेचक बळ वाढेल..म्हणजे मध्यस्थानी येत असताना बळ सर्वात जास्त असेल व लांब जात असताना कमी असेल.”
 
“हो..या खेचक बळामुळेच (F sin θ) तर वर्तुळाकार गती मिळते. म्हणूनच मध्य स्थानी येत असताना गती सर्वाधिक असेल आणि लांब जात असताना ती कमी होत गेलेली असेल..झोका घेत असताना नाहीका मध्यस्थानी गती वाढते व लांब असले की कमी होते..आणि बरका या खेचक बळामुळेच चेंडूला चक्रगती मिळते. चेंडू जेव्हा सर्वात खाली असतो तेव्हा गती सर्वात जास्त. याचा दुसरा अर्थ असा की खालून पुढे निघाला की गती कमी होते. सर्वात वरच्या ठिकाणी गेला की गती शून्य. म्हणजे आता त्याची गती पुन्हा वाढणारच असते. अशा रीतीने हे दोरीतले खेचक बळ व गुरुत्वाकर्षण त्या चेंडूला चक्रात फिरवत ठेवतात. आपल्या आयुष्याला ही हे नियम लागू पडतातच की. सर्वात खाली असलं तरी लक्षात घ्यायचं की आता फक्त प्रगती होणार. सर्वात वर गेलं की आता अधोगती सुरु होणार..”
 
“पण मग विक्रमा जर हा चेंडू कुठल्याही कारणाने निसटला किंवा दोरी तुटल्यामुळे किंवा सैल झाल्यामुळे निसटला व फेकला गेला तर किती लांब पडेल. मला म्हणायचंय की अशी कोणतीही वस्तू जोरात लांब फेकली तर तिच्यावर हे गुरुत्वार्षण बळ कसे काम करेल? पण कायरे हे काळानुसार चालणारे अदृष्य बळ मला पुन्हा बोलावत आहे. आम्हाला ही चक्रगती आहेच. मला जायलाच हवे. येतो विक्रमा, पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
 
झालं..पुन्हा विषय चक्रगती वर येउन थांबला. मनुष्याला काय, इतर प्राण्यांना काय, त्या चेंडूला काय किंवा वेताळाला काय चक्रापासून सुटका नाहीच हे पाहून प्रत्येक जीव विचारात पडला. यात खोल खोल जाता जाता सारी सृष्टी निद्राचक्रात मात्र गुरफटली. विश्रांती घेती झाली. पृथ्वीनेही स्वत:भोवती एक चक्र पूर्ण केले व नव्या दिवसाची तीही वाट पाहू लागली.
 

(क्रमश:)

मूळ गोष्ट : विक्रम वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

Advertisements