पदार्थांच्या आकाराची आणि आवाक्याची खात्री हीच जॉमेट्री (Geometry: A technique of approximation of space)

ती घटनाच तशी चिन्ता करायला लावणारी होती. विक्रमाच्या शेजारी राजाने छुपं युद्ध सुरु केलं होतं. ते असं की विक्रमाच्या राज्याच्या सीमेलगत असणाऱ्या शेतामध्ये शेजारी राजाने विविध हिंस्त्र प्राणी, शिवाय भटकी कुत्री, रोगट गाई गुरं, अगदी मोकाट सुटलेले बैल आणि हत्तीसुद्धा सोडले होते. एवढं कमी होतं की काय म्हणून विषारी साप आणि उंदीर व घुशीही सोडायला सुरुवात केली होती. विक्रमाची सीमेवरची प्रजा त्रस्त होऊ लागली होती. ही समस्या नक्की किती आणि कशा प्रमाणात आहे, किती प्रदेशातली जनता त्रस्त आहे हे कळणं महत्वाचं होतं. “एकदा का या समस्येचा, त्याने बाधित झालेल्या प्रदेशाचा अंदाज आला की उपाय कुठं करायचा हे पण कळेल” विक्रम तलवारीच्या मुठीवर हात चोळत स्वतः:शीच बोलत होता. पण ते वेताळानं ऐकलं नाही असं होणंच शक्य नव्हतं.

“काय रे विक्रमा, तुम्ही राजेलोक एकमेकात भांडत बसता आणि फटका असा बॉर्डर वरच्या लोकांना बसतो ना? तुमचं राजकारण जाऊदे पण आता या उंदीर घुशींनी हैराण केलेला प्रदेश किती व कोणता हे कसं कळणार? तुमच्या पदार्थ विज्ञानात आहे काही याचं तंत्र?”

“पदार्थ विज्ञानाला अशाबाबतीत साहाय्य करणारं असं एक वेगळं तंत्र आहे. मुंगी पासून चंद्रा पर्यंत आकाराने कितीही लहान किंवा मोठा पदार्थ असुदे त्याचा आवाका लक्षात घेण्याचं हे तंत्र आहे. आपण मागे बोललो होतो तसे आपण पृथ्वी, अग्नी, जल, वायू आणि आकाश यांपासून बनलेले आहोत. आपल्या बाजूचं जग किंवा त्यातले आपल्या ज्ञानेंद्रियांना(sense organs) जाणवणारे पदार्थ हेही याच पाच द्रव्यांपासून बनलेले आहेत.. ते अगदी लहान अशा धुळीच्या कणांपासून ते अतिविशाल अशा सूर्याच्या आकाराचे आहेत.. माणसाच्या बुद्धीची चुणूक पहा.. ”

“अरे विक्रमा, माणसाच्या बुद्धीविषयी बोलायला थकत नाहीस तू माहित आहे.. पण मला एखादे सोपे उदाहरण देरे जरा..आणि हो त्या आकाराचा अंदाज घेण्याचं तंत्र काय ते ही सांग.. ”

“हे बघ वेताळा, चिंटू आणि बबन दोन खास दोस्त.. एकदम जिगरी दोस्त.. एकदा सहजच त्यांच्या डोक्यात आलं की गावाजवळची टेकडी चढून जायची.. काय व्हायचं की चिंटू आणि बबन जेव्हा सोसायटीच्या गच्चीवरून त्या टेकडीकडे पाहायचे तेव्हा त्यांना वाटायचं की चढून जाऊ की सहज.. उसमे क्या है?”

“मग चढले का टेकडी? की होमवर्कच करत बसले?”

बिंदू ⇒ रेषा ⇒ प्रतल ⇒ त्रिमिती आकार (Point ⇒ Line ⇒ Plane ⇒ Three Dimensional Shape)

“हो. मग एका रविवारी सकाळी डबा घेऊन निघाले टेकडी कडे.. टेकडीच्या पायथ्याशी उभे राहिल्यावर त्यांनी शिखराकडे पहिले व बबन म्हणाला की ते बघ ते शिखर आहे ना तो`पॉईंट रे माझ्या बोटाकडे बघ.. इथे त्यांना वाटलं होतं की टेकडीचं शिखर एका बिंदू (point) सारखं आहे. थोडं चढल्यावर एका ठिकाणी पाणी प्यायला थांबले आणि शिखराकडे पाहिलं तर एखाद्या रेषेसारखं(line) दिसत होतं शिखर. थोडं अजून वर जायला लागले.. मधला एक डोंगर पार केला आणि शिखर हे बिंदू (point) किंवा रेषे (line)सारखे नसून ते एखाद्या उभ्या भिंतीसारखे (plane) आहे व ती भिंत एखाद्या ओबड धोबड आयता (rectangle) सारखी आहे हे कळलं.. ”

“अरे काय रे हे बोलतोयस? बिंदू(point), रेषा (line), प्रतल(plane) या बद्दल बोलतोयस तू तर ? Geometry की कुठल्याशा गणिताच्या प्रकारात हे ऐकलं होतं मी .. ते इथं कुठं आलं.. पायथागोरस का कोणाचा थेरम असंच काहीतरी होतं यात.. पण त्याचा इथं काय संबंध? ”

“हो भूमिती किंवा Geometryच ही.. आपण पाहिलं तसं बबन आणि पिंटू ला टेकडीचं शिखर आधी बिंदू(point) सारखं वाटलं होतं.. थोडं जवळ गेलं की दोन बिंदू आणि त्यांना जोडणारी शिखरावरची रेषा (line) दिसली.. अजून वर अर्ध्यात पोहोचले तर प्रतल किंवा भिंतीसारखा (plane ) आकार दिसू लागला.. शिखराच्या जसे जवळ जाऊ लागले तसे एकच भिंत नसून तीन बाजूंनी ओबड धोबड भिंती आणि त्यावर आईस्क्रीम चा कोन उलटा ठेवल्यासारखा शिखराचा आकार दिसू लागला.. तीन मापांचा (three dimensional)”

geometry_approximation

“पण काय रे विक्रमा, एवढं करुन तरी अचूक आकार कळतो का?

“हे बघ, भूमिती किंवा जॉमेट्री Geometry हे एखाद्या वस्तूने किती जागा व्यापली आहे, त्या जागेचा आकार कसा आहे याचा अंदाज घ्यायचं तंत्र आहे. माप माहित नसताना बिंदू, मग रेषा, मग त्रिकोण-चौकोन-आयत-वर्तुळ-पतंग यांसारखा आकार त्यात बसतो का? की असे अनेक आकारांचे कोलाज त्यात बसतंय हे माणसाचा मेंदू पाहतो. शिवाय निसर्गात आढळणाऱ्या वस्तू  धुळीच्या कणासारख्या कितीही लहान असोत किंवा सूर्यासारख्या अतिविशाल आकाराच्या असोत त्यांना लांबी-रुंदी-उंची असतातच. दिवाळीच्या किल्ल्याला जसा दगड विटा घालून मुलं आकार देतात व वरून पोतं पसरलं की मग सगळं एकसमान वाटू लागतं तसाच कोणताही आकार पाहिला की माणसाचा मेंदू त्यात कल्पनेने अनेक वस्तू ठेवून पाहतो आणि आकाराचा अंदाज घेऊ लागतो. पण एवढे करूनही त्यात थोडासा ओबडधोबडपणा राहतोच.”

a19da-sookshmman

“मग हा ओबडधोबडपणा कसा मोजायचा?”

“एकदा का सगळे आकार ठेवून पाहिले की राहिलेल्या जागेत लहान लहान आकार ठेवत जायचे. इतके लहान इतके लहान की मुंगी सुद्धा एखाद्या हत्तीसारखी वाटावी. अतिलहान आकार करून पुन्हा गोळाबेरीज करण्याच्या या पद्धतीला एकिकरण पद्धत (Integration) म्हणतात. ”

“बापरे, तू तर कॅल्क्युलस(calculus) मध्ये घुसलास.. ते जाउदे आता. या मिती किंवा dimensions कुठून आली?”

वस्तूंचा आकार/आवाका मोजताना:  लांबी – क्षेत्रफळ – घनफळ

“ती कुठून आली नाहीत.. ती त्या डोंगराच्या शिखराला होतीच.. खूप लांबून त्याला काही लांबी-रुंदी-उंची नसून तो फक्त एक बिंदू(point) वाटला.. पायथ्यापासून थोडं वर गेलं की डावीकडे आणि उजवीकडे असे दोन बिंदू दिसले.. इथे वैशेषिकात सांगितलेले दिक म्हणजे दिशा हे द्रव्य मदतीला आले.. डावीकडून उजवीकडे जाणारी रेषा मेंदूने काढली व आपल्याला कळलं की शिखराला काही लांबी (length ) आहे.. लांबून ती एका वितेचीच वाटतेय.. दिशेचा कर्सर एकाच बाजूने म्हणजे डावीकडून उजवीकडे गेला.. एक मिती किंवा dimension.. थोडं पुढे गेलं की कळलं की शिखर म्हणजे रेषा नसून एक ओबड धोबड भिंत आहे.. भिंत म्हणजे मग त्याला उभं परिमाण म्हणजे लांबी आहे आणि आडवं परिमाण म्हणजे रुंदी आहे.. मोजण्यासाठी दिशेचा कर्सर खालून वर आणि डावीकडून उजवीकडे असा दोन वेगवेगळ्या दिशांना फिरवावा लागला.. दोन मिती किंवा two dimensions.. शिखराजवळ जसं जाऊ लागलो तसं कळू लागलं की शिखराला लांबी(length) आणि रुंदी(width) तर आहेतच पण त्या बरोबरच जाडी(thickness) आहे.. म्हणजे दिशेचा कर्सर तीन दिशांना फिरला.. म्हणून तीन मिती किंवा three dimensions.. ”

“हे कधी आणि कोणी केलं?”

“माणसाचा मेंदू हे सहज करतो.. माणसाच्या मेंदू मध्ये.. ”

“बर बर.. पुढे सांग,.. पुढं काय झालं? आणि यात हे भूमितीचे आकार कसे आले?”

लांबी – क्षेत्रफळ – घनफळ कसं मोजतात?

“हो तर चिंटू जसा शिखरावर पोहोचला तसं त्याला कळलं की शिखर हे बिंदू, रेषा, प्रतल किंवा थ्री डिमेन्शनल नसून ते अतिशयच ओबड धोबड आहे.. म्हणजे काही भाग विटेसारखा चौकोनी आहे.. कुठे आईस्क्रीम च्या उलट्या ठेवलेल्या कोणासारखं आहे आणि कुठे पिरॅमिड सारखं आहे.. म्हणजेच ते एकसमान नाही. लांबी-रुंदी-उंची सांगून फार नीटपणे सांगता येणार नाही.. भूमिती किंवा geometry हे असं आकाराचा अंदाज घेण्याचं तंत्र आहे. जेव्हा काहीच परिमाण नसतं.. तेव्हा त्याला बिंदू म्हणतो.. point.. पण जेव्हा तो बिंदू जवळ येतो व तिथे एकाच्या ऐवजी दोन बिंदू दिसतात तेव्हा आपोआप लांबी येते.. line.. रेषा आली की length किंवा लांबी आलीच.. पण जेव्हा ही रेषा नसून ती भिंत आहे हे कळतं तेव्हा मग त्यात लांबी(length) आणि रुंदी(width ) वेगवेगळ्या दिशांना असल्याने त्याचा आवाका कळण्यासाठी मग दोघांचा गुणाकार म्हणजे क्षेत्रफळ(area) येतो .. त्या भिंतीजवळ जावं तसं तिला लांबी(length), रुंदी (width) आणि जाडी(thickness) असून ही मापे तीन दिशांना आहेत.. म्हणून त्या शिखराचा तीन दिशांना असलेला आवाका लक्षात घेण्यासाठी मग घनफळ(volume) मोजणं आलं.. ”

भूमितीतले आकार वापरून वस्तूंचा आकार लक्षात घेणे

“विक्रमा, वस्तूंचा आवाका किंवा आकारांचा अंदाज घेताना या चौकोन, आयत, त्रिकोण वगैरे आकारांची काय गरज पडते?”

humanFaceNgeometry

(Source: www (dot) enews (dot) tech)

“वेताळा, माणसाला आजूबाजूच्या वस्तू पाहताना ते चित्ररूपात लक्षात ठेवायची सवय (graphical memory) असते. बऱ्याच वेळेला समोरच्या व्यक्तीचा चेहरा आठवतो पण नाव आठवत नाही..कारण माणसाचा मेंदू हा आजुबाजूच्या वस्तूंना लक्षात ठेवताना नेहमी काहीतरी मांडणी किंवा पॅटर्न लक्षात ठेवतो, म्हणजे कपाळ मोठं आहे, नाक टोकदार किंवा बसकं आहे, चेहरा उभट, गोलाकार किंवा चौकोनी आहे असं सर्व काही लक्षात ठेवून एकेक चेहरा लक्षात ठेवला जातो. लहानपणापासूनच बिंदू, रेषा, चौकोन, आयत, पतंग, वर्तुळ, त्रिकोण, पंचकोन, षट्कोन तसेच सिलिंडर, भरीव ठोकळा, गोल असे अनेक आकार त्याला माहित असतात. नवा चेहरा किंवा वस्तु पाहताना नक्की आकार कसा आहे याचा शोध मेंदू घेतो आणि मग ते चित्र लक्षात राहते. तो चेहरा लक्षात राहतो. तसेच प्रत्येक पदार्थही लक्षात राहतो..”

“पण मग विक्रमा या आकारांचा आणि मितींचा अंदाज बांधायचं पदार्थविज्ञानात काय काम पडतं?”

फिजिक्समधे जॉमेट्रीचा काय उपयोग होतो?

“आपण आधीच पाहिलं होतं की पदार्थविज्ञानात परिणामावरुन कारण शोधण्याचा अभ्यास केलेला असतो. एका मोठ्या हातोड्याने खिळा ठोकला हे कारण झालं तर परिणाम म्हणजे तो खिळा लाकडात रुततो. म्हणजेच काही अंतर लाकडात जातो. २ cm लांबीच्या खिळ्यापैकी १ सेमी लाकडात घुसलाय. तिथे लांबी आली. बळाने केलेले विस्थापन(displacement) हे कायम लांबीच्या स्वरूपात मोजतात. पण जर त्या हातोड्याने खिळ्यावर किती दाब (pressure) टाकला हे मोजायचं असेल तर मा्त्र खिळ्याच्या डोक्याकडच्या पृष्ठभागाचं क्षेत्रफळ म्हणजे एरिया किती आहे हे मोजलं की दाब(Pressure) = बळ(Force) / पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ(Area) असं मोजमाप करता येतं.”

“पण विक्रमा हे घनफळ किंवा volume कधी कामाला येतं?”

“समजा राजू हा उपद्व्यापी मुलगा स्विमिंग टॅंक मध्ये पोहोतोय आणि त्याने समजा एक लाकडाचा मोठ्ठा बॉक्स पाण्यात टाकला तर त्या बॉक्सने किती पाणी बाजूला सारले हे पाहायचे असेल तर सरळ त्या बॉक्सचे घनफळ = बॉक्सची लांबी X रुंदी X उंची काढली तर सारलं गेलेलं पाणी कळेल. बॉक्स समजा १ फूट लांब X १ फूट रुंद X १ फूट उंच असेल तर त्या बॉक्सचे घनफळ १ घनफूट झाले. ”

“एक घनफूट पाणी म्हणजे किती पाणी गेले ?”

“एक घनफूट पाणी म्हणजे साधारण २८ लिटर पाणी वाया घालवले राजुने.. ”

“खरंच उपद्व्यापी मुलगा आहे हा राजू.. २८ लिटर पाणी खेळता खेळता वाया घालवले. पण काय रे विक्रमा हे लांबी, रुंदी, उंची, क्षेत्रफ़ळ, घनफळ प्रत्येक पदार्थाला असतं? मला सांग कधी वापरायची ही मापे? ”

“भारीच प्रश्न वेताळा. हे बघ जेव्हा डावीकडून उजवीकडे असा एक ठोकळा सरकत गेला. दिशा एकच आहे. आधीपासून शेवट पर्यंत फक्त एकाच दिशेत बदल झाला, तर लांबी मोजल्याने मोजल्याने काम झाले.  बळाने केलेले विस्थापन(Displacement) ते हेच.

आता समजा एकाद्या तळ्यावर गेलायस आणि तळ्याच्या पूर्ण पृष्ठभागावर शेवाळ साठलंय तर किती शेवाळ साठलंय असं ठरवायचं असेल तर फक्त तळ्याची लांबी किंवा फक्त तळ्याची रुंदी यांचा विचार करून चालणार नाही. इथे तळ्याच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजावे लागेल. समजा तळे १० मी रुंदी आणि १० मी लांब आहे असे धरून चालले तर पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ १० मी x १० मी म्हणजेच १०० वर्ग मीटर square meter एवढ्या भागावर शेवाळ पसरलंय असे म्हणावं लागेल. १०० square meter हा आकडा शेवाळ्याचा आवाका आपल्याला सांगेल. हे शेवाळ उडवून लावायला एक महाकाय पंखा आपण वरुन फिरवला आणि ती हवा जर १०० न्युटन इतके बळ त्या १०० square meter शेवाळयावर लावले तर तळ्याच्या पृष्ठभागावरचा हवेचा दाब = १०० न्युटन/१०० Sq Meter = 1 Pascal.

पण आता याच तळ्याची एक भिंत फुटली आणि शेजारची एक खोली पाण्याखाली गेली तर त्याचा आवाका पाहण्यासाठी मग तुला लांबी, रुंदी, उंची पाहून  खोलीचे घनफळ ठरवावे लागेल. समजा खोली १० मीटर लांब, ५ मीटर रुंद आणि ५ मीटर उंच असेल तर खोलीचे घनफळ १०x ५x ५ = २५० घनमीटर आले. १ घनमीटर पाणी = १००० लिटर पाणी. म्हणजे खोलीत २५० x १००० = २,५०, ००० लिटर पाणी घुसले असं सांगितलं की त्या खोलीत आलेल्या पाण्याचा आवाका सांगता येतो. १ लिटर पाण्याचे वस्तुमान साधारण १ किलोग्रॅम धरलं तर २,५०,००० किलोग्रॅम पाणी भिंतीवर चालून आले. म्हणजे पाण्याने भिंतीवर लावलेले बळ = ९.८ x २,५०,००० = २४५०००० न्युटन एवढे बळ किती भागावर आले तर १० मीटर x  ५ मीटर = ५० square meter क्षेत्रफळावर इतके महाभयंकर बळ चालून आले. तिथला पाण्याचा दाब झाला Pressure = 49000 Pascal. इतके महाभयंकर दाब झाल्यावर पाणी फोडणारच रे त्या भिंतीला..त्या भिंतीला भगदाडे असतील, तिची कोणीच काळजी घेत नसेल तर धोका कधी ना कधी निर्माण होणार हे ठरलेलंच..जी गोष्ट पाण्याची किंवा आप द्रव्याची (liquids) तीच वायूची (gases). ”

“उगीच नाही नदीच्या पुरात गावेच्या गावे बेचिराख होत, निसर्गाचा रुद्रावतार तो हाच. त्याने होणारं नुकसान समजून घेताना हे पदार्थविज्ञान समजून घेतलं पाहिजे. असो. पण म्हणजे प्रयोग करणाऱ्याला काय माहिती हवी आहे, द्रव्य कोणते आहे यावर लांबी हवी, एरिया हवाय का घनफळ हे सगळं ठरवायचं. पण मला सांग रे विक्रमा १ सेमी x १ समी x १ सेमी एवढ्या बॉक्स मध्ये ठेवलेला लोखंडाचा तुकडा, त्याच घनफळाचा कापसाचा बोळा, त्याच साईजची तेलाची पिशवी आणि पाण्याची पिशवी आणि हवेची पिशवी यांची वजने सारखी नसतात. असं का होतं? तू म्हणणार की त्यात काय विशेष? कापूस आणि लोखंड स्थायू(solid) आहे , पाणी आणि तेल द्रव (liquid) आहे, हवा वायू(gas) आहे.. मला जरा याच्याबद्दल सविस्तर सांग.. स्थायू कसा असतो काय करतो? द्रव कसा? वायू कसा? तू नेहमी वरवरची उत्तरे देतोस पण मला प्रशस्तपादांनी, कणादांनी वैशेषिकात याबद्दल काय सांगितलंय हे जाणून घ्यायचंय.. नीट विचार करून ये विक्रमा, माझी जाण्याची वेळ झाली.. हा मी चाललो.. हा हा हा… ”

(क्रमशः)

मुखपृष्ठ: मुखपृष्ठ
या सदरातील इतर गोष्टी : ८वी पर्यंतचं Physics
गोष्टींची पूर्ण यादी : गोष्टींची पूर्ण यादी (Complete Story List)

Advertisements

You may also like...

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

error: Content is protected !!
%d bloggers like this: