क्वांटम फिजिक्स किंवा ‘तळ्यात की मळ्यात’ फिजिक्स (..Why Quantum Physics is also the Probabilistic Physics)

विक्रम राजा जरा चिंतेतच पडला होता. तसा राजा अनुभवी , कर्तबगार, कर्तव्यकुशल होताच होता पण तरीही कुठल्याच बाबतीत त्याला म्हणावा तसा निश्चितपणा जाणवत नव्हता. सारंच कसं जाणवण्यासारखं पण तरीही निश्चितपणे काहीच सांगता येत नाही. एखादे नाणे घेतले आणि वर फेकले. वरून खाली पडले तर त्याची कुठली बाजू वर दिसणार आणि कुठली खाली पडणार हे नक्की सांगताच येत नाही.. म्हणजे दोन्हीची शक्यता ५०-५० किंवा फिफ्टी-फिफ्टी असणार.. सहा बाजू असणारे फासे टाकले तर नक्की कुठली बाजू वर दिसणार हे निश्चितपणे सांगता येत नाही.. ही झाली १/६ शक्यता.. बावन्न पत्त्यांचा कॅट घेतला आणि त्यात अपेक्षित पत्ता निघेल याची शक्यता १/५२.. मग आपल्या नेहमीच्या कामात अपेक्षित निकाल लागेल याची शक्यता तर अजूनही धूसर होत जाणार.. तर अपेक्षित पाऊस पडणार याची शक्यता, पुरेसे अन्न-धान्य मिळणार की नाही याची शक्यता, रोगराई किती प्रमाणात आणि किती जणांना ग्रासणार याची शक्यता ह्या सर्वांचाच अंदाज बांधणं महामुश्कील होत जातं..अपेक्षित परिणामाची शक्यता असतेच पण खात्री देता येत नाही”

“काय रे विक्रमा, एवढा अनुभवी राजा तू, इतका कसा काय डळमळीत झाला तुझा अंदाज? इतके निर्णय तू घेतोस, इतके प्रजाजन तू सांभाळतोस, इतके मित्र राजे तू पदरी बाळगून आहेस, इतके शत्रुराजे अजूनही तुझ्याशी वैरभाव बाळगून आहेत तर मग साऱ्याच शक्यता आणि अशक्यतांचा खेळ असताना तू इतका यशस्वी कसा होतोस? आणि या शक्याशक्यता केवळ तुमच्या नेहमीच्या आयुष्यातच आहेत की तुमच्या फिजिक्स मध्ये पण असं काही अस्थिर आणि अंदाजावर बेतलेलं किंवा अंदाज पंचे चालणारं काही आहे?”

“हे बघ वेताळा अनुभव जसा येत जातो तस – तसं अंदाज बांधणं सोपं होत जात.. जितके जास्त वेळा एखादी गोष्ट करण्याचा प्रयत्न करावा तितक्या जास्त प्रमाणात आपल्याला अपेक्षित असलेल्या अंदाजाच्या जवळ आपला प्रयत्न जाऊ लागतो.. यालाच law of large numbers असे म्हणतात.. ”

“अरे मग practice makes the man perfect असे म्हण ना.. ”

toss
(source: mrcoderdojo(dot)org)
“वेताळा सरावामुळे माणूस परफेक्ट होतो का केवळ खूपवेळा केलेल्या सरावामुळे त्याचा पुढचा प्रयत्न अपेक्षित निकालाच्या जास्तीत जास्त जवळ जाऊ लागतो हे तूच ठरव .. हे बघ आता.. एका नाण्याच्या दोन्ही बाजूला काहीतरी छापलेलं आहे.. एकाबाजूला आकडा आहे आणि दुसऱ्या बाजूला राजमुद्रा आहे.. तसं पाहिलं तर आकडा किंवा राजमुद्रा वर येण्याची शक्यता १/२ किंवा ५०% आहे.. पण हे झालं तात्विक दृष्ट्या खरं.. पण जर एखाद्याने ते नाणं पाचवेळा टॉस केलं तर समजा दोनवेळा वर राजमुद्रा आली आणि तीनवेळा आकडा वर आला.. दहावेळा टॉस केला तेव्हा तीनवेळा राजमुद्रा वर दोनवेळा आकडा वर.. असं १०० वेळा.. १००० वेळा करत गेलं.. १०००० वेळा करत गेलं.. एक लाख वेळा करत गेलं तर केलेला टॉस हा राजमुद्राच येईल किंवा आकडा येईल याची शक्यता ५०% च्या जवळ जाऊ लागते.. सचिन तेंडुलकर, पिट सॅम्प्रास यांसारखे खेळाडू मैदानावर तासन्तास, महिनोन्महिने, वर्षानुवर्षे सराव करतात.. तबलजी, गायक, वादक एक एक राग तीन तीन वर्षे शिकतात.. काहीकाही तर एक एक सूर तीन तीन वर्षे घोटवतात.. तान, राग गळ्यात बसला असं म्हणतात.. ताल हातात बसला असं म्हणतात.. या ‘बसला’ चा अर्थ एवढाच होतो की तो गायक जेव्हा तुमच्यासमोर कला सादर करतो त्या आधी त्याने ते गाणे शेकडो वेळा, हजारवेळा गायले आहे, त्याच्या गळ्याने अंगावर खेळवले आहे की त्या गाण्यात तो गायक चुकण्याची शक्यता कमी झाली आहे.. तुमच्या आधी त्याने तो ताल १०००० वेळा वाजवला आहे.. त्यामुळे तो जेव्हा १०००१ व्यांदा तुमच्या समोर ते वाजवणार तेव्हा ते चांगलं होण्याची शक्यता खूप पटीने वाढलेली आहे हे  निश्चित आहे.. कारण तुमच्या समोर १०००१ वा  प्रयोग करतोय. म्हणजे हा प्रयोग चांगला होईलच याची खात्री नाही आणि वाईटच होईल याचीही खात्री नाही.. शक्यताच आहेत.. पण आता त्या शक्यता ५०-५० इतक्या म्हणजे समसमान झालेल्या आहेत..    ”

sidesOfCoin
(source: www (dot)iilsindia(dot)com)
“म्हणजे विक्रमा कितीही सराव केला तरीही माझ्या अपेक्षेचा छापा पडेल किंवा काटा पडेल याची खात्री नाहीच? मग सरावाचा काय उपयोग? ”

“हे बघ वेताळा, प्रत्येक वेळेला मी छापा की काटा करतो, प्रत्येक वेळेला मी पत्त्यांच्या कॅट मधून एक पत्ता काढतो किंवा असे कुठलेही प्रयत्न करतो ते सगळे प्रयत्न आधीच्या प्रयत्नांपासून स्वतंत्र असतात.. आधी छापा पडला म्हणून लगेच पुढचा छापा पडेल असे नाही किंवा लगेच पुढचा काटाच पडेल असेही सांगता येत नाही.. निश्चिती एवढीच आहे कि नाण्याला दोनच बाजू असल्याने पुढच्या टॉस ला छापा किंवा काटा यातलेच काहीतरी पडेल आणि जसजसे तुम्ही १००-१०००-१०,०००-१,००,०००-१०,००,००००-१,००,००,००० प्रयत्न करत जाता तसे याची खात्री होत जाते की पुढचा टॉस तुम्ही कराल म्हणजे लाखावा किंवा करोडावा टॉस कराल तेव्हा तुमच्या म्हणण्या प्रमाणे छापा किंवा काटा येईल याची ५०% किंवा फिफ्टी -फिफ्टी एवढीच खात्री देता येते.. अपेक्षेप्रमाणे निकाल येईल याची सर्वात जास्त शक्यता ५० टक्के इतकीच.. maximum predictability is ५०%..”

“अरे पण याचा अर्थ काय? कितीही अभ्यास केला तरीही ५० टक्केच मार्क पडणार? मग अभ्यास कशाला करायचा?”
“नाही याचा अर्थ असा की १,००,००,००१ व्या प्रयत्नात माझ्या मताप्रमाणे छापाच्या ऐवजी काटा पडला तर १,००,००,००२व्या म्हणजे लगेचच पुढचा प्रयत्न मी केला तर माझ्या अपेक्षेप्रमाणेच छापा पडेल याची शक्यता १०० टक्के असेल कारण law ऑफ averages नुसार प्रत्येक दुसरा प्रयत्न हा तुमच्या अपेक्षेनुसार निकाल देणारा असणार आहे.. यापेक्षा अधिक प्रयत्न वाद आणि आशावाद दुसरा काय असणार?”

“पण विक्रमा, हे नाणी उडवणं, पत्ते खेळणं, फासे टाकून द्यूत खेळणं हे तुमच्या सारख्या महाराजांचे, दरबारी लोकांचे  खेळ.. साध्या  प्रजेच्या आयुष्यात येणाऱ्या शक्य -अशक्यता विचारात घेतल्या म्हणजे यंदा पाऊस किती पडणार, कधी पडणार, उन्हाळा कसा असणार, भाव कसे असणार या सारख्या प्रश्नांची उत्तरे तुमच्या या शक्यतांच्या शास्त्रात कशी मिळणार?”

“बरोबर आहे वेताळा , सही फर्मा रहे हो.. जेव्हा अशा कुठल्याही घडण्याच्या शक्यता अनेक असतात तेव्हा आपण पिंडाकृतीचा वा घुमटाकृतीचा वा ढिगाच्या आकाराचा न्याय किंवा  law of normal distribution चा आधार घेतो..”

“अरे विक्रमा जरा नॉर्मल प्रजाजनांना कळेल असे बोल .. काय चाललंय हे ? कुठला हा न्याय?”

normal-curve
(source: www (dot) exceluser (dot)com)
“हे बघ वेताळा, असं समज की शेतात पिकं कापणीला आली आहेत, शेतकरीण बायका उंचावर उभारून धान्य पाखडतायत.. धान्यातला नकोसा भाग वाऱ्याबरोबर उडतोय आणि खाली धान्याचा ढीग तयार होतोय. तू बघशील तर असा ढीग नेहमी मंदिराच्या कळसासारखा सर्व बाजूंना सारखा, थोडासा वरून पाहिल्यास वर्तुळाकार दिसतो. शिवाय धान्य जिथून खाली पडतंय त्याच्या बरोबर खाली या ढिगाचे केंद्र आणि ऍक्सिस असतो. टाकलेल्या धान्यातील सर्वाधिक धान्यकण हे केंद्राच्या आणि ऍक्सिसच्या जवळपास असलेल्या परिघात किंवा पेरिफेरल एरियात पडतात. ढिगाची उंची जिथून धान्य पडतंय तिथे सर्वात जास्त असते. आणि मग वर्तुळाचा आकार जसा वाढत जातो तसतशी ढिगाची उंची कमी कमी होत जाते.. ही गोष्ट विविध डोंगरांचे नैसर्गिक आकार, कुठल्याही धान्याचे ढीग हे जेव्हा तयार होतात तेव्हा त्या आकाराला गणिताच्या आणि त्यातही स्टॅटिस्टिकस (statistics) च्या भाषेत normal distribution म्हणतात. ”

“हो ठीक आहे म्हणले त्याला normal distribution.. मग काय त्याचे विशेष..?”

“तर अशा ढिगात समजा १०० धान्याचे कण असले तर त्यातले ६९ कण सर्वात जवळच्याच एक विशिष्ट रेडियस च्या सर्कल मध्ये पडतील. त्या बाहेरच्या सर्कल मध्ये १०० मधले ९५ कण पडतील. १०० मधले ५ कण मात्र बाहेर घरंगळतील. त्यामुळे १०० मधले ९५ कण ज्यात पडतात त्या भागाबद्दल आपण म्हणू शकतो की धान्याचे १००-१०००-१००००-१००००० कण जसे आपण टाकत जाऊ तशी त्या ढिगाची एकतर उंची वाढत जाईल किंवा ढिगाचा आकार वाढेल.. पण त्याही परिस्थितीत त्याचा शेप किंवा आकार नॉर्मल राहील मंदिरातल्या घाटेंसारखा किंवा bell curve सारखा.. कोणताही परिस्थिती मध्ये ६८ % कण हे आतल्या वर्तुळात असतील आणि ९५ % कण बाहेरच्या वर्तुळात असतील. ढिगातले कण वाढतील तसे बाहेर राहणारे किंवा बेल शेप बाहेर राहणारे कण ५ टक्केच राहतील.. पण ढिगात १०० कण असतील (sample size) तर ५ कण ९५ टक्क्यांपेक्षा वेगळे पडलेले असतील.. दूर पडलेले असतील.. हेच परिघाबाहेरचे किंवा outliers. १००० च्या ढिगात ५०, १०,००० मध्ये ५००,१ लाखात ५००० अशी संख्या बदलते पण प्रमाण तेवढेच राहते.. टक्केवारी तेवढीच राहते..”

“नाही पण विक्रमा हे घंटेसारखे किंवा ढिगासारखे वागणे इतर ठिकाणी कुठे लागू होते का ? ”

“होते ना सगळीकडे होते.. म्हणजे एक राज्य एक जिल्हा असा साधारण सारख्याच प्रकारची लोकसंख्या असलेल्या (homogeneous population) भागात सर्व लोकांची उंची, जाडी, त्यांना होणारे रोग, त्याचे मरण्याचे वय, तिथल्या किमती, शिक्षणाचे प्रमाण, उत्पन्न, मतदानाचे प्रमाण अशा सर्वसाधारण गुणांना हा घंटाकाराचा किंवा ढिगाऱ्याच्या आकाराचा नियम लागू होतो.. म्हणजे असे पहा. त्या एरियातल्या पूर्ण वाढ झालेल्या म्हणजे १८ वर्षांपेक्षा मोठ्या माणसांची उंची एक जात मोजत काढली आणि असं लक्षात आलं की सरासरी उंची (average height) साडेपाच फूट आहे.. तर सोयीसाठी म्हणू की सरासरी उंची १६० सेमी आहे तर १६० सेमी च्या ३३.५ टक्के अलीकडे आणि ३३.५ टक्के पलीकडे म्हणजेच १०६. ४ सेमी ते २१३. ६ सेमी या रेंज मध्ये त्या भागातली ६७.५ टक्के जनता असेल..याच पेक्षा मोठं वर्तुळ काढलं तर १६० सेमी पेक्षा ४७% कमी आणि ४७% जास्त अश्या लोकांची म्हणजे ज्यांची उंची  ८४. ८ सेमी ते २३५. २ सेमी आहे यांच्या दरम्यान आहे असे लोक लोकसंख्येच्या ९५ % इतके भरतील. ज्यांची उंची ८४.८ सेमी पेक्षा कमी आणि २३५.२ सेमी पेक्षा जास्त आहे असे लोक परिघाबाहेरचे म्हणजे outliers असून ते लोकसंख्येच्या ५ टक्के इतकेच असतील. हाच नियम त्यांची जाडी, त्यांचा लठ्ठपणा, डायबेटीस प्रमाण, मृत्युचे वय, शिक्षण, लग्नाचे वय या सर्वांना लागू होते.. अशा सर्वच मोजता येणाऱ्या(quantifiable) गुणांना हा घंटेच्या आकाराचा (bell curve) किंवा नैसर्गिक ढिगाच्या आकाराचा (normal distribution) नियम लागू पडतो.”
“पण विक्रमा डोंगर तर वेगवेगळ्या आकाराचे असतात.. काही वेळा उंचच उंच सुळका असतो आणि जोराचा उतार असतो आणि काही वेळा घुमटासारखा आकार असतो.. शिखरापासून उतार हळू हळू उतरत जात कमी कमी होत पायथ्याशी जातो.. हे कोण ठरवतं? ”

“वेताळा यालाच variance किंवा आपल्या चर्चेच्या साठी मापांमधली विविधता म्हणू. जसं आपण वरच्या उदाहरणात पाहिलं, सर्वसाधारण उंची १६० सेमी आहे. तो एक गणिती आकडा आहे. सर्व लोकांची उंची मोजून, त्यांची बेरीज करून त्या बेरजेला लोकांच्या संख्येने डिव्हाइड करून तो मिळाला आहे. एका अर्थी तो मिळवलेला किंवा तयार केलेला आकडा आहे.  पण लोकांची शरीरे तो आकडा तंतोतंत का पाळतील? त्यांच्या उंचीत आणि सरासरी उंचीत फरक राहायचाच..तर लोकांची उंची त्या सरासरी उंचीपेक्षा किती बदलते यावर ते बदलाचं मान किंवा variance अवलंबून असतं.. याच आकड्याचं वर्गमूळ किंवा square root म्हणजे standard deviation किंवा बदलदर्शक संख्या असं म्हणू.. ”

“अरे विक्रमा काय हे बदलमान(variance), बदलसंख्या(standard deviation) लावलंयस.. या संख्येचा आणि ढिगाच्या आकाराचा काय ताळमेळ असतो ते सांग ना !!!”

normsd-1
(source:learningstatisticswithr(dot)com(dot)html)

“हो तेच तर सांगतोय.. त्या ठिकाणी असलेल्या जास्त लोकांची उंची १६० सेमी या average जवळ असली तर म्हणजे जास्तीतजास्त लोकांची उंची(mode) १५९, १५८,१५७,१६१,१६२,१६३ अशी १६० या सरासरीच्या आकड्याच्या आसपास असली तर तिथला ढीग मोठ्या सुळक्यासारखा लंबुळका दिसणार.. म्हणजे तिथलं variance आणि standard deviation कमी असणार.. वरच्या आकड्यामध्ये ते दिसतंच आहे सारे उंचीचे आकडे १६० आकड्याभोवतीच पिंगा घालत फिरत आहेत.. पण समजा तसं नसेल लोकांची उंची १०६. ४ सेमी ते २१३. ६ या रेंजमध्ये काही तुरळक ११०, काही १२०, काही १४०, काही १५०, मोठ्या संख्येने १५९-१६१ मध्ये, काही १७०, काही १८०, काही १९०, काही २००, काही तुरळक  २१० असे असेल तर लोकांची उंची १६० सेमी या सरासरी उंची पासून दोन्ही बाजूला मोठ्या प्रमाणात बदलत गेलेली आहे.. इथे त्या ढिगाचा १६० च्या भोवती फुगवटा होईल पण तो ढीग दोन्ही बाजूला हळूहळू उतरत एका बाजूला १०६ ला उतरेल आणि दुसरीकडे २१४ ला उतरेल..  ”

“विक्रमा एवढे सगळे सांगितलेस पण या साऱ्याचा  फिजिक्स मध्ये काय उपयोग ते काही सांगितलंच नाहीस..”

“हे बघ विक्रमा, आपण जसं बघितलं की न्यूटनच्या म्हणण्यानुसार सर्व घटनांबद्दल निश्चितपणा असण्याचे दिवस संपले. क्वांटम फिजिक्स चा जमाना आला . सर्व पदार्थ ठरल्याप्रमाणे वागणारे  गुड बॉय नसून ते अतिशय मनमोजी कलंदर आहेत हे  कळू लागलं. सॉलिड्स मध्ये अणूंना बांधून ठेवणारी बळे Van Der Vaal Forces फारच करकचून ठेवत असल्याने सॉलिड्स धक्क्याने लगेच  तुटत फुटत विस्कटत फाटत नाहीत. त्यांच्यातल्या अणूंमध्ये असणारे अंतर फार लगेच वाढत नाही. पण पाण्याच्या अणुरेणूंमध्ये एकत्र बांधून ठेवणारी बळे तितकीशी प्रबळ नाहीत. जोराचा धक्का लागला की झाल्याच पाण्यात लाटा.. जर उष्णता मिळाली की सुरु झाले प्रवाह पाण्यात.. मग या गोंधळात पाण्याच्या भांड्याच्या बुडाशी असलेला पाण्याचा रेणू गॅस ची उष्णता मिळाली की कुठे जाईल कोणाला म्हणजे कोणाकोणाला धडकेल.. मग तो ज्यांना धडकला ते त्याच्यावर काय बळ लावतील.. शेवटी तो  रेणू वाहात वाहात कुठे जाईल याची काहीच निश्चितता नाही उरली.. पाण्याची ही कथा तर गॅस चं काय वर्णावं.. आधीच उल्हास त्यात तो गॅस.. आधीच गॅस चे रेणू नेहमीच्या तापमानाला सतत इकडे तिकडे पळणारे.. डब्यात बंद करून ठेवल्याशिवाय एक ठिकाणी न राहणारे.. त्यांना जर गॅस ची उष्णता मिळाली तर हे चाललेच धुडगूस घालायला.. एक नाही दोन नाही अशा लिटरभर गॅस मध्ये गॅस च्या लाखो – करोडो रेणूंचं टोळकं च्या टोळकं सतत धुडगूस घालणारं.. इथे न्यूटन चे नियम लागू होऊ शकले नाहीत.. गॅस कुठे आहे हे समजावं तर त्याचा वेग कळणं अशक्य.. वेग कळाला तर तो कुठे आहे हे कळणं अशक्य.. हेच ते हायझेनबर्ग चे अनिश्चिततेचे तत्व..

photon

गणिती भाषेत तो रेणू सरासरीपेक्षा किती जास्त किंवा कमी प्रमाणात जागा बदलतोय (standard deviation of displacement) x तो रेणू सरासरीपेक्षा किती प्रमाणात संवेग बदलतोय (standard deviation of momentum) >= प्लँक्स स्थिरांक (h)/(४π).. h ची किंमत  6.626176 x 10-34 joule-seconds इतकी म्हणजे अतिसूक्ष्म असते..”

” अरे पण मग यात अनिश्चित किंवा uncertain काय आहे ? ”

“अरे वेताळा उदाहरणासाठी आपण एक रेणू, त्यातला ऍटम, एक इलेक्ट्रॉन, एक फोटॉन असे बोलतोय.. एक फोटॉन येऊन एका इलेक्ट्रॉन ला धडकला असे म्हटले.. आदळणाऱ्या फोटॉन ने इलेक्ट्रॉन ला धक्क्याला लावले.. असे एकेक इलेक्ट्रॉन, फोटॉन बद्दल बोलणं सोपं आहे.. पण एक तर आपण ज्या जागेत हे होतंय त्या जागेत एक लिटर गॅस च्या भांड्याच्या एका क्युबिक सेंटीमीटर मध्ये  असे लाखो – करोडो- अब्ज -दशाब्ज -मिलियन -ट्रिलियन अणु -इलेक्ट्रॉन-प्रोटॉन चा गराडा पडलाय त्यावर तेवढेच लाखो -अरबो -खरबो फोटॉन्स आदळतायत..त्यात कोणत्या फोटॉन ने कोणाला धक्का दिला -त्यामुळे त्याचा momentum किती वाढला आणि तो किती सरकला हे शक्यतेच्या किंवा probability च्या भाषेत सांगणं निव्वळ अशक्य.. इतक्या अतिसूक्ष्म स्तरावर, इतक्या मोठ्या फोटॉन -इलेक्ट्रॉन च्या लेव्हलवर चाललेली धड्काधडकी मोजणं आणि त्यातही त्यांचा संवेग किंवा momentum आणि जागेत होणारा बदल एकाच वेळी लक्षात घेणं अशक्य.. कारण फोटॉन ने धक्का दिला की इलेक्ट्रॉन ची जागाही बदलणार आणि संवेग किंवा फिरायचा वेग हि बदलणार..शिवाय हे एक क्षणाला एक -दोन नाही लाखो-करोडो-अब्जो इलेकट्रॉनच्या बाबतीत मोजावं लागणार.. इतक्या साऱ्या फोटॉन्सच्या जागेत होणाऱ्या बदलाचे standard deviation आणि त्यामुळे वेगात  होणाऱ्या बदलाचे standard deviation एकाच वेळी लक्षात घेणं अशक्य.. म्हणूनच हि अनिश्चितता.. एक तर कुठे जाईल याचा अंदाज probability आणि standard deviation च्या स्वरूपात लावता येतो किंवा त्याचा वेग बदल किती होईल याचा अंदाज probability आणि standard deviation च्या स्वरूपात बांधता येतो..  ”

“अरेच्चा विक्रमा इतका घोळ घालून पुन्हा हि अनिश्चितता राहिलीच म्हणजे कमाल आहे..तुम्ही लोक इतका घोळ घालून पुन्हा अनिश्चित किंवा uncertain म्हणून हात वरच करता.. पण एकंदरीत सर्व वस्तूंमध्ये बाहेरच्या शक्तीमुळे कोणकोणात्या प्रकारचे तरंग निर्माण होतात हे तू काही सांगत नाहीस.. सॉलिड्स मध्ये कुठले, लिक्विड मध्ये कुठले काहीच सांगत नाहीस का त्याबाबतीत तुला माहिती नाही? का माहिती असून ती बरोबर आहे याची निश्चिती नाही? काय हे विक्रमा.. पण आता तुझ्या गोष्टींचं गुऱ्हाळ ऐकत बसलो आणि आता पुर्वेला सूर्य यायची वेळ होईल लवकरच .. आम्हा वेताळ लोकांना परत जाण्याची वेळ निश्चित आहे.. त्यामुळे मी निघालो.. पुन्हा ये विक्रमा अधिक निश्चित माहिती घेऊन, अधिक उदाहरणे घेऊन.. हा हा हा ”

(क्रमश:)
मुखपृष्ठ
१२वी नंतरचं फिजिक्स
गोष्टींची पूर्ण यादी (Complete Story List)

Advertisements