संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)

विक्रम आज जरा खुशीतच होता. गोष्टच तशी झाली होती. त्याच्या सैन्यासाठी आज त्याने अतिशय उत्तम अशा तोफा निवडल्या होत्या. असाच तो भरभर चालत असता मध्येच कधीतरी त्याच्या पाठीवर वेताळाचं धूड धप्पकन येउन बसलं तेव्हा कुठे त्याला अमावस्येचं, वेताळाचं, रात्रीचं आणि प्रश्नोत्तरांचं भान आलं.

“ गप्प का झालास राजा? आणि तू तुझ्या सैन्यासाठी तोफा निवडल्यास हे ही मला समजलं. बर मला एक सांग राजा, या तोफांमधून तुम्ही वेगाने तोफगोळा डागता तेव्हा ती तोफही थोडी मागे येते, थोडी आगही दिसते, तर मग ती तोफ गोळ्यासारखी मागे का फरफटत येत नाही?”

 

“वेताळा, युद्धासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तोफांमध्ये अजून एक अदृश्य पण अतिपरिचित भूत मदतीला धावून येतं. त्याचं नाव संवेग(momentum) किंवा एकरेषीय संवेग (linear momentum). संवेग म्हणजे कोणत्याही गतिमान वस्तूची गतीमध्ये राहण्याची प्रवृत्ती. न्यूटनच्या गतीनियमांनुसार संवेग परिवर्तन हे बलाच्या(force) दिशेतच होते म्हणूनच संवेग ही सदीशगोत्री (vector) राशी होय.”
“राजा, हा संवेग म्हणजे काहिसा जडत्वा सारखा प्रकार वाटतो. जडत्त्व(inertia) म्हणजे पण वस्तू स्वत:ची स्थिती वा गती सोडत नाही असेच आहे ना?”
“तू काहीसा बरोबर आहेस वेताळा. पण सं’वेग’ म्हणजे ‘वेग’वान वस्तूची वेगातच राहायची प्रवृत्ती होय. त्यामुळे स्थिर वस्तूला संवेग नसतो कारण वेग(velocity) नसतो. शिवाय जडत्त्वाला दिशा नसते, ती अदीश(scalar) राशी आहे. पण संवेग म्हणजे वेग आणि वस्तुमान यांचा गुणाकार असल्या कारणाने संवेग ही सदीश(vector) राशी आहे. दोन्हीमध्ये समान घटक म्हणजे दोन्हीला वस्तुमान(mass) हे कारक असते. जडत्वामध्ये केवळ वस्तुमान हे कारक असल्याने जडत्त्व अदीश होते पण संवेगात वस्तुमान आणि वेग असल्याने आणि वेग हा सदीशगोत्री असल्याने संवेगही सदीश होतो.”
“पण राजा हे संवेगाचं काही लक्षात येत नाही बघ. नक्की काय समजायचं? हे थोडं थोडं ज्याला आपण ‘जोर’ म्हणतो त्या सारखं आहे का?”
“होय वेताळा तू अचूक ताडलंस..संवेग म्हणजे लावलेला जोर. एखादा मत्त गजराज जेव्हा पूर्ण वेगाने दौडत येऊन झाडाला धडक देतो तेव्हा काय होतं? झाड लेचंपेचं असलं तर उन्मळून पडतं. जर विशाल वृक्ष असेल तर एखादी फांदी तुटते. हे कसं होतं.
संवेग(momentum) म्हणजे वेग गुणिले वस्तुमान(velocity x mass).
गजराजाचं वस्तुमान असेल ५००० किलोग्राम. तो गजराज त्या झाडाच्या दिशेने १२ मी/सेकंद वेगाने धावत निघाला. तर त्याचा संवेग किंवा जोर झाला ५०००x१२=६०००० किग्रा.मी/सेकंद. आता त्या झाडाचं वस्तुमान आपण समजू १००० किलोग्राम. जर त्या जमिनीतून हा वृक्ष बाहेर पडायला काहीच अटकाव झाला नाही, हत्तीला पळताना जमिनीच्या तसेच हवेच्या घर्षणाचा सामना करावा लागला नाही तसेच जमीनही गुळगुळीत होती असे समजले तर ते झाड किती वेगाने जाईल?
संवेग अक्षय्यतेचा नियम असे सांगतो की कोणतेही तिसरे बळ (हवेचे व जिमिनीचे घर्षण व अन्य) कार्यरत नसेल तर विशिष्ट दर्शकाच्या दृष्टिकोनातून(frame of reference) पाहिल्यास तेथील एकूण संवेग कायम राहतो. आपल्या बाबतीत त्या उन्मत्त गजराजाने स्थिर वृक्षाला धडक दिली व तो गजराज शांत झाला. पण स्थिर असलेले झाड मात्र गडगळत पुढे गेले.
संवेगाच्या भाषेत संवेग अक्षय्यतेचा नियम (law of conservation of momentum) आपणास सांगतो की एकूण संवेग हा कायम स्थिरच राहणार. पळत आलेला गजराज नंतर स्थिर झाला, म्हणजे गजराजाचा नंतरचा संवेग शून्य झाला. इथे हे सुद्धा लक्षात येते की जोर लावणे या शब्दात नेहमीच वेग(velocity) अभिप्रेत असतो. गजराज कितीही महाकाय असले तरीही जर ते जागचे हललेच नाहीत तर जोर शून्य. असो. तो वृक्ष आधी स्थिर होता म्हणजे संवेग शून्य होता. पण नंतर मात्र जेव्हा तो वृक्ष गडगळत गेला तेव्हा त्याला संवेग प्राप्त झाला.
थोडक्यात
गजराजाचा आरंभीचा संवेग – वृक्षाचा नंतरचा संवेग = ०
किंवा गजराजाचा आरंभीचा संवेग = वृक्षाचा नंतरचा संवेग
५०००(गजराजाचे वस्तुमान)x (१२)गजराजाचा वेग = (१०००)वृक्षाचे वस्तुमान x (क्ष)वृक्षाचा वेग
थोडक्यात वृक्ष हा (५०००x १२/१०००) = ६० मी प्रति सेकंद किंवा २१६ किमी प्रति तास इतक्या प्रचंड वेगाने गडगळत जाईल. वेताळा हे उदाहरण मी केवळ संवेग अक्षय्यता नियमाचे उदाहरण म्हणून सांगितले. असं प्रत्यक्षात होणं अशक्य आहे. आता तोफगोळ्यांचं सांगतो. (आकृती १)
तोफ आणि गोळा यांनाही हा संवेग अक्षय्यता नियम लागू पडतो. म्हणजेच
तोफेचा संवेग – गोळ्याचा संवेग = ०
तोफेचे वस्तुमान(mass) x तोफेचा वेग(velocity) = गोळ्याचे वस्तुमान x गोळ्याचा वेग
तोफगोळा किती लांब डागायचा हे तोफेच्या व गोळ्याच्या वस्तुमानाच्या पटीवर बरचसं अवलंबून असतं. समजा आपण एक १५०० किलोग्राम वजनाची तोफ घेतली आणि तिच्यामध्ये १० किलोचा तोफगोळा ठेवला. जेव्हा तोफेला बत्ती देण्यात आली तेव्हा तो गोळा १५०मी/सेकंद वेगाने गेला तर ती तोफ किती वेगाने मागे येईल?
१५०० (तोफेचे वस्तुमान)x- क्ष (तोफेचा मागे येण्याचा वेग) + १०(गोळ्याचे वस्तुमान)x १५०(गोळ्याचा वेग)=०
याठिकाणी तोफ ही गोळ्याच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेत मागे येत असल्याने ऋण चिन्ह दिले आहे.
तोफेचा मागे येण्याचा वेग (क्ष) = १०x १५०/१५०० = १मी/सेकंद
म्हणजेच तोफेचा मागे येण्याचा वेग गोळ्याच्या वेगापेक्षा कैकपटींनी कमी असतो.”
“पण विक्रमा हा तोफगोळा जेव्हा पडतो तेव्हा काय परिणाम होतो? किती बळ(force) प्रयुक्त होतं याचा तुला काहीच पत्ता लागलेला दिसत नाही? तो परिणाम सुद्धा मोजता येतो का? शिवाय तू विशिष्ट दर्शकाचा दृष्टिकोन असंही काहिसं म्हटलास. तू खूपच शब्दांच्या फैरी उडवतोस. पण आता मला वेळ नाही. मी चाललो. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
“वेताळाने उड्डाण केल्यावर विक्रम किती वेगाने मागे गेला?” तिथेच उलटे लटकलेल्या वाघुळाने दुसऱ्याला विचारले.
“संवेग अक्षय्यता नियम लाव. लगेच कळेल.” दुसऱ्याने हिंदोळे घेत शांतपणे उत्तर दिले.
©अनिकेत कवठेकर.
Advertisements

वेगातला बदल – वाढता (त्वरण) वा घटता (मंदन) (Acceleration and Deceleration)

घनदाट जंगल, कीर्र अंधार, श्वापदांच्या हृदयाचा थरकाप उडवणाऱ्या आरोळ्या, शिकार होणाऱ्यांच्या आर्त किंकाळ्या, जंगली पाणवठ्यावर पाणी पिण्याचे आवाज सारं मागं जात होतं पण विक्रमाचे मन मात्र वारा पिलेल्या घोड्याप्रमाणे विचारांच्या मागे धावत सुटले होते. हे वेताळाचे प्रश्न एकातून दुसऱ्या, दुसऱ्यातून तिसऱ्याच ठिकाणी घेऊन जात होते.
“काय राजा आज पुन्हा आलास सज्ज होउन आपल्या कोड्यासाठी? तर मग ऐक. मागील एका प्रश्नात मी तुला सर्वाधिक वजनाचा गोळा ठरविण्यास सांगितले होते. आता हाच गोळा घेऊन तू एका जादुई प्रदेशात गेलास. तिथे जमीन सर्वत्र गुळगुळीत (friction-less) आहे. हवा एका दिशेनेच वाहते. बाकी कोणतीही बले कार्यरत नाहीत. तिथे एका सरळ रेषतून हा गोळा सोडलास तर या गोळ्याचा वेग (velocity) बदलेल का समान राहील? बदलला तर तो कशामुळे? पटकन सांग नाहीतर मी तुझ्या डोक्याचेच सूक्ष्म भाग करीन.”
“वेताळा सांगतो. जगात एकसमान कोणतीही वस्तू एकसमान वेगाने (constant velocity) जाणे, तिच्या वेगात किंचितही बदल न होणे हे केवळ अशक्य. वस्तूच्या मार्गक्रमणाला बाधक आणि पोषक अशा अनेक गोष्टी असू शकतात. सुरुवात वस्तूच्या वस्तुमान (mass) आणि जडत्वापासून(inertia) होते. कोणत्याही वस्तूला जागचे हलायचे नसते किंवा जर गतिमान असेल तर गतीमध्ये बदल करायचा नसतो. न्यूटनचा पहिला गतिनियम (Newton’s First Law of Motion) आपल्याला हेच तर सांगतो.
जर ही वस्तू हालत असेल तर तिच्या वेगात बदल करणं म्हणजे तिचा संवेग (Momentum) बदलणं. ज्या वस्तूला वेग आहे त्या वस्तूलाच संवेग किंवा जोर (momentum) असतो. वस्तूचा संवेग म्हणजे त्या वस्तूच्या वस्तुमानाचा (Mass) आणि वेगाचा (Velocity) गुणाकार. म्हणूनच या वस्तूच्या संवेगात बदल करायचा असेल तर काहीतरी कुठूनतरी जोर लावावा लागेल. आता हा जोर किती आणि का लावायचा, त्याने त्या गतीमध्ये वाढ करायची का घट करायची हे बळ (Force) लावणाऱ्याच्या हेतूवर अवलंबून असलं तरीही न्यूटनचा दुसरा गतिनियम (Newton’s Second Law of Motion) असं सांगतो की एका विशिष्ट वस्तूच्या संदर्भात विचार करताना (Frame of Reference) संवेगात (पर्यायाने वेगात) बदल होण्याचा दर लावलेल्या बळाच्या प्रमाणावर अवलंबून असतो आणि संवेगातला (म्हणजेच वेगातला) हा बदल लावलेल्या बळाच्या दिशेतच होतो. (आकृती १)
उदाहरणार्थ दोन रेड्यांची झुंज लावली तर दोघेही एकमेकांना ढकलू पाहतात. जो रेडा अधिक वस्तुमानाचा व वेगाचा तो दुसऱ्याला ढकलू पाहणार. समजा रेडा अ आणि रेडा ब. रेडा अ हा पळत येणाऱ्या ब ला समोरून भिडला तर? यात तीन शक्यता आहेत –
१. रेडा अ हा ब च्या पेक्षा कमी संवेगाचा/जोराचा असेल तरी तो ब ला विरोध करून त्याची गती कमी करणार
२. रेडा अ हा इतकाच संवेगाचा असेल तर अ हा बला पुढे जाऊ देणार नाही व ब हा अ ला पुढे जाऊ देणार नाही. म्हणजे पुन्हा रेडा अ च्या बाजुने विचार केला (Frame of Reference) तर त्याने ब ची गती कमी केली व ब च्या संवेगात बदल केला.
३. रेडा अ हा ब पेक्षा अधिक संवेगाचा/जोराचा असेल तर तो ब ची गती तर कमी करेलच पण ब ला त्याच्या गतीच्या दिशेन पुढे घेऊन जाईल.
वेताळा रेड्यांचे उदाहरण मी फक्त संवेग डोळ्यासमोर यावा म्हणून दिले. निर्जीव वस्तूंनाही संवेग असतोच असतो. पदार्थविज्ञान हे वस्तूची सजीवता (Life) लक्षात घेत नाही. ते एक जडवादी शास्त्र (Material Science) आहे. असो.
पण मग स्वत:वर बळाचा वापर होत असताना ती वस्तू थोडीच गप्प राहणार? ज्या वस्तूवर बळ लावले जाते ती वस्तू ह्या बळजबरीचा तितक्याच ताकदीने आणि विरुद्ध दिशेनं प्रतिकार करते हा झाला न्युटनचा तिसरा गतीनियम (Newton’s Third Law of Motion). म्हणजे काय तर जसा रेडा अ चा विचार केलास तसा रेडा ब चा विचार करायचा.”
“अरे नियमावर नियम सांगतोयस, रेड्यांच्या गोष्टी सांगतोस पण यात गतीमधला बदल कुठे आला ते सांग.”
“अरे वेताळा, दोन बळे जेव्हा एकमेकांना भिडतात, तेव्हा ती त्यांच्या पूर्ण संवेगानिशी/ताकदीनिशी (वस्तुमान X वेग) भिडतात व आपल्या दिशेने गतीबदल घडवतात. तू म्हणतोस त्या गोळ्याकडे जाण्याआधी मी अजून एक उदाहरण देतो ते म्हणजे रथाच्या सारथ्याचं. (आकृती २)
१. जेव्हा तो रथ थांबलेला असतो तेव्हा गती शून्य, म्हणजे संवेग शून्य.
२. जेव्हा तो घोड्याला आज्ञा देतो तेव्हा घोडा जोरात पुढे ओढतो रथाला. शून्य गतीमधून रथ वेगवान होतो, तेव्हा त्याला संवेगही प्राप्त होतो. इथे आला तो वेगबदल किंवा वाढणारे त्वरण (Acceleration) जे रथालाही प्राप्त होते. घोड्याच्या पळण्याच्या दिशेने ते कार्य करू लागते. रथाचा संवेग आणि घोड्याचे बळ(force) एकाच दिशेने जाऊ लागतात. घोड्यामुळे रथाचा वेग वाढतो. घोड्याचा व रथाचा वेग एक होईपर्यंत हे होत राहतो. सारथ्याला मात्र त्याच्या जडत्वामुळे मागे खेचल्यासारखे होते.
३. पण आता असे समजूया की त्या सारथ्याने घोड्याला थांबायची आज्ञा दिली. घोड्याला हे कळल्याने तो काही अंतर जाऊन थांबला. पण रथ हा निर्जीव असल्याने त्याचे जडत्व(inertia) त्याला पुढे ढकलत होते पण घोड्याचे बळ मात्र आता तितक्या वेगाने पुढे ओढत नव्हते. म्हणजे मंदन (Deceleration) किंवा गती कमी कमी होत गेली. यात असे लक्षात येते की लगाम खेचल्याने घोड्याचा वेग कमी झाला, परिणामी रथाला ओढणारे बळ कमी झाले, त्यामुळे रथाचा वेग कमी होत गेला, सारथ्याला जडत्वामुळे पुढे ढकलले गेल्यासारखे होते. पण हळुहळु घोडा आणि रथ एकाच वेगात पुन्हा येतात. रथ मात्र आहे त्याच दिशेत चालत राहतो.
याठिकाणी हे लक्षात घ्यायला पाहिजे की वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात. पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.”
“राजा काय रे हे? इतके रेडे, घोडे, रथ, नियम सांगितलेस पण या वेगबदलांच्या घटत्या –वाढत्या भुतांना मोजणं मात्र तुमच्याच्यानं शक्य झालेलं दिसत नाहीये. आणि हो माझा अजून एक प्रश्न आहेच की हा रथ वळणे घेत गेला की तुझी वेग व त्वरण भुते कुठे जातात? कुठल्या दिशांना तोंडे फिरवतात? मी मात्र आता माझी दिशा फिरवतो आणि पुन्हा माझ्या झाडाकडे जातो..पुन्हा भेटू..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
वाऱ्याच्या झुळुकेबरोबरच हा आवाज फिरत गेला
  • वेगात वाढ होताना वेग आणि त्वरण एकाच दिशेत असतात.
  • पण वेग कमी होत असतो, तेव्हा वेग आणि मंदन विरुद्ध दिशेत असतात.

  (क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

चाल आणि वेग (Speed and Velocity)

रात्रीचा, त्यातही अमावस्येच्या एका काळ्याकभिन्न रात्रीचा पहिला प्रहर सुरू होऊन सर्व श्वापदांचं काळजाचा थरकाप उडवणारं आवाजी विश्व हरणापासून सश्यापर्यंत सर्वच भित्र्या प्राण्यांना लपायला भाग पाडत होतं. परंतु आज विक्रम मात्र वेगळ्याच विश्वात होता व पाठीवर मोळा असल्यागत वेताळाला घेऊन चालला होता. वेताळालाही हे लक्षात येत होतं.
 
“अरे विक्रमा, वेताळ तर मी आहे. पण तुझ्या मनावर कोणीतरी दुसरंच स्वार दिसतंय. आत्ता उतरवतो बघ. एक  कोडं घालतो आणि मला लगेच त्याचं उत्तर हवंय.
 
समजा तुझ्या राज्यात चार मल्ल आहेत. खूप ताकदवान आहेत, पण तुला त्यातला सर्वाधिक ताकदीचा मल्ल निवडायचाय आणि तोही कुस्तीची स्पर्धा न करता. काय करशील?”
 
“सांगतो वेताळा. यासबंधी एक साहाय्यकारी भूत आहे, त्याचं नाव चाल. एखादे विशिष्ट अंतर कापण्यासाठी लागलेल्या वेळाच्या गुणोत्तरालाच चाल असे म्हणतात.”
 
चाल (Speed) = अंतर (Distance) / काळ (Time)
आता चाल ही झाली अदिश गोत्रातली. पण तिचाही एक भाऊ सदीश गोत्रात आहे. त्याचं नाव वेग.
वेग (Velocity) = विस्थापन (Displacement)/ काळ (Time)
वेताळा न्यूटन च्या नियमानुसार विस्थापन हे बाहेरून काम करणाऱ्या परिणामी बळाच्या (External Resultant Force) दिशेतच होते. जेवढे हे बळ अधिक तेवढे त्या वस्तूला मिळालेला वेग अधिक. या ठिकाणी असलेली जमिनीची सपाटी, खाच खळगे, वाहणारा वारा सर्वच वस्तूंना सारखेच अडवतील असे धरून आपण तो परिणाम नगण्य समजू. तसेच सर्वच वस्तूंवर काम करणारे गुरुत्तवाकर्षण बळ सारखेच असल्याने त्यानेही वेगात काही बदल घडणार नाही असे समजू.”
 
“अरे अरे थांब, थांब, हे काय बरळतोयस? तुला माझा प्रश्नच कळलेला दिसत नाही. मल्लांबद्दल बोललो मी!”
 
“ वेताळा मी तुझ्याच प्रश्नाच्या उत्तराकडे येत होतो. या मल्लांसाठी एक स्पर्धा ठेवायची..हातोडीने जोरात लाकडाचा ओंडका ढकलायचा. सर्व मल्लांना सारख्या मोजमापाच्या, वजनाच्या महाकाय हातोड्या द्यायच्या. एक गुळगुळीत लाकडी पृष्ठभागावर लाकडाचे गुळगुळीत केलेले, समान वजनाचे, मोजमापाचे ओंडके ठेवायचे. एक विशिष्ट अंतरावर (s) रेष मारायची. ओंडका जेव्हा ती रेष पार करेल तो वेळ मोजायचा(t). (आकृती १)
 
 
“अरे पण एवढ्या मोजमापातून कोण बलवान ते कसं कळायचं? मुद्दयाचं बोल”
 
“मल्ल जेव्हा जीव खाऊन हातोडीने ओंडक्यावर प्रहार करतील, तेव्हा तो ओंडका सुसाटत जाऊन ती रेष पार करेल. ज्या मल्लाने सर्वात जास्त बळ लावले त्याचा ओंडका सर्वात कमी वेळात ती रेषा ओलांडेल.
समीकरणाच्या भाषेत बोलायचं झाल्यास
बळ (Force) = वस्तुमान (Mass) x त्वरण (Acceleration)
सर्व गोळे सारख्याच वस्तुमानाचे घेतल्याने ओंडक्याला मिळालेले त्वरण हे मल्लाने लावलेल्या बळाच्या प्रमाणात बदलेल. थोडक्यात काय तर जो मल्ल सर्वात शक्तीशाली त्याचा ओडका सर्वाधिक वेगाने जाईल. किंवा ज्याचा ओंडका सर्वाधिक वेगाने जाईल, तो मल्ल सर्वात जास्त ताकदीचा.”
प्रत्येक ओंडक्याला रेष पार करण्यासाठी लागणारा वेळ (t) मोजला तर ते अंतर (s) कापण्यासाठी ओंडक्याने घेतलेला वेग खालीलप्रमाणे मोजता येईल.    
V1 = s / t1, v2 = s / t2, v3 = s / t3, v4 = s / t4
ज्या ओंडक्याचा वेग (V) सर्वात जास्त, त्याला ढकलणारा मल्ल स्पर्धेचा विजेता.”
 
“अरे राजा, पण एका ओंडक्याची चाल (average speed) ५ मी/सेकंद असेल आणि सरासरी वेग (average velocity) सुद्धा ५ मी/सेकंदच असेल तर मग हे सदीश (vector) आणि आदीश(scalar) हवेत कशाला?
 
“अरे वेताळा चाल हे कापलेले अंतर आणि लागलेला काळ यांचे गुणोत्तर(ratio) आहे. तो केवळ एक आकडा आहे. पण वेग म्हटलं की आकडा ही आला आणि दिशा सुद्धा आलीच. म्हणजे आरंभापासून शेवटापर्यंत की उलटा प्रवास केला? शिवाय जर का  सपाट पृष्ठभागाऐवजी चढ किंवा उतार असता तर हाच वेग गाठण्यासाठी खर्ची घातलेले बळही वेगवेगळे असेल. उदाहरणार्थ उतारावरून तो ओंडका ढकलण्यासाठी कमी ताकद लागेल. पण चढावर मात्र जास्त ताकद लावावी लागेल. या सर्व शक्यता केवळ दिशेमुळे विचारात घेतल्या जाऊ शकतात. शिवाय दिशेमुळे निरीक्षकाचाही यात सहभाग असून ही स्पर्धा जेथे घडतेय तेथेच कुठेतरी आपण अलगद जाऊन बसतो हे वेगळेच. केवळ दिशेच्या बाणामुळे एवढ्या गोष्टी घडतात.”
 
“ अरे राजा, तू फारच बाळबोध विचार करणारा दिसतोस. मी विचारलेल्या प्रश्नाचे तू  त्याबळाच्या सरासरी परिणामा बाबतीत उत्तर देतोस. आरंभ स्थानापासून अंतिम स्थाना पर्यंत जाताना वेगात कसाकसाबदल होत गेला हे तुम्हाला लक्षात येतं काय? विस्थापन आणि वेग यांच्यातला सूक्ष्म कालसापेक्ष संबंध तुला माहिती आहे का? मला त्वरित उत्तर दे. अरे पण हे काय? हा प्रहर तर संपत आला. हा मी निघालो माझ्या स्थानाकडे. तुला मी एवढ्या सहजी सोडणार नाही.. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
 
वेताळाच्या हसण्याच्या दिशेने झाडांची पानेही घाबरून थरारली..त्यातील एका पानावर खालील अक्षरे उमटली
 
  • परिणामी बलाच्या दिशेतच विस्थापन होते.
  • चाल हा केवळा एक आकडा किंवा परिमाण आहे. वेगात मात्र आकडा आणि दिशा दोन्ही महत्वाच्या.
  • गुरुत्वबल सर्व वस्तूंवर सारखाच परिणाम गाजवते. वस्तूच्या वस्तुमानाचा आणि तिला प्राप्त झालेल्या वेगाचा कोणताही थेट संबंध नसतो. असलाच तर तो त्या वस्तूवर कार्य करणाऱ्या बाह्य बलामुळे (external force) तो निर्माण होतो. 

 

  (क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वस्तुमान व वजन (Mass and Weight)

राजा विक्रम अमावस्येच्या रात्रीचा मुहूर्त साधून पुन्हा त्या पिंपळाखाली आला. मागील वेळी झालेल्या बोलण्याच काही बोल अजूनही त्याच्या मनात रुंजी घालत होते. तो त्याबद्दलच्या विचारातच होता इतक्यात ते वेताळाचं विकट हास्य त्याच्या कानी पडलं.
“ कसला विचार करतोयस राजा? अजूनही मागील बोलण्याचाच विचार करतोस असं दिसतंय. मागील वेळी तू विस्थापन (displacement) सदीश (vector) गोत्री राशी आहे असे काहीसं बोलत होतास आणि झालेलं विस्थापन कार्यकारी बळाच्या दिशेतच (Resultant force) होतं असंही म्हणालास. काय घोळ आहे हा? म्हणजे विस्थापन दिशेवर अवलंबून आहे असं म्हणतोस..त्या अर्थी बलाच्या दिशेतील विस्थापनाला धन आणि बलाच्या विरुद्ध दिशेतील विस्थापनाला ऋण विस्थापन असं म्हणायला जावं तर लगेच म्हणतोस की विस्थापन हे कार्यकारी बळाच्या दिशेतच होते. पटकन सांग नाहीतर तुझा मृत्यू अटळ आहे असं समज..”
खांद्यावर आरुढ होणाऱ्या वेताळाला तोलत राजा विक्रम ती अंधारी वाट चोखाळू लागला, “सांगतो, सांगतो. हे वेताळा आपल्या पुराणांमध्येच जड (matter) आणि अजडाचा (non-matter) भेद केला आहे. जे जागा व्यापतं ते जड आणि जे व्यापत नाही ते अजड. जसा तू दर अमावस्येला शरीरात प्रवेश करतोस आणि माझ्या पाठुंगळी येऊन बसतोस. तुला पाठीवर घेऊन मी चालतो तेव्हा त्या मृत शरीरावर अजून एक भूत एखाद्या वटवाघळासारखं उलटं लटकतं. तेच तू म्हटलास ते  गुरुत्वाकर्षण (Gravitation). न्यूटन नावाच्या एका शास्त्रज्ञाच्या मतानुसार प्रत्येक क्रीयेला प्रतिक्रीया असतेच व ती मूळ क्रीयेच्या विरुद्ध दिशेत होते. या उदाहरणात, पृथ्वी ही तिच्यावर असणाऱ्या सर्वच सजीव – निर्जीवांना पोटात घेण्यात उत्सुक असते. जो पर्यत शरीरात आत्मा आहे तोपर्यंत या गुरुत्वाकर्षणाच्या विरोधात धडपड करीत उभं राहायचं. आत्मा सोडून गेला की पार्थिवाला हे गुरुत्वाकर्षण ओढूनच घेतं. तुझ्या प्रेताचं ओझं घेऊन मी चालतो तेव्हा माझं शरीर आणि तुझं शरीर हे सारंच मला गुरुत्वाकर्षणा विरोधात ओढावं लागतो. पृथ्वीनं लावलेल्या गुरुत्व बलाला मी विरोधी बल लावतो पण ते केवळ उभं राहण्यापुरतं. नाहीतर पृथ्वीच्या बलाला विरोधी बळ लावायला एखादा वामनावतारच जन्माला यावा लागतो.”
“ते तर मलाही माहिती आहे राजा. पण या सर्व भुतांना सदीश (vector) वा अदीश (scalar) गोत्रात घालायची काय गरज? विस्थापनाला तू मागच्या वेळी दिशा असतेस असं म्हणालास..पण ओंडका तोच, रस्ता तोच, खेचणारा तोच..मग ही दिशा का आडवी येते? कुठलं असं भूत आहे जे या दिशेवर पोसतं वा घटतं?”
“अरे वेताळा, त्या ओंडक्याच्या जडपणामुळे वा मी मगाशी म्हटलो त्या प्रमाणे माझ्या शरीराचा ‘जड’पणाच्या मुद्दलावर चढलेल्या तुझ्या शरीराच्या व्याजाच्या एकत्रित परिणामामुळे हे घडते. हा जडपणा अदृश्य असतो. पण तो प्रत्येक स्थिरचराला ग्रासून असतोच. याचेच नाव वस्तुमान (mass). म्हणजे त्या वस्तूच्या कणाकणांना एकत्र सांधणारं असं काहीतरी.”
“अच्छा म्हणजे हे वस्तुमान नावाचं भूत या सर्व दिशेच्या गोष्टी आणतं? म्हणजे हे वस्तुमानही तुमच्या त्या सदीश गोत्रातलं दिसतंय”
“नाही वेताळा. वस्तुमानाला दिशा नसते. ते अदिश गोत्री आहे. पण ते वस्तुमान एखाद्या आळसटलेल्या माणसासारखं वा शंखात लपलेल्या गोगलगायीसारखं धक्का दिल्या शिवाय हलतंच नाही. त्याला सतत ढकलावं लागतं. त्याला ढकलणारी शक्ती व पृथ्वीची खेचणारी शक्ती उतारावर मित्रपक्षासारख्या आघाडी करतात. तेव्हा गतीला विरोध होत नाही. म्हणून कमी श्रमात काम होतं. शक्ती वाचते, तिची धन होते. म्हणून ते धन. उलट चढावरून जाताना वर ढकलणाऱ्या शक्तीला पृथ्वीची खेचकशक्ती आव्हान देते. त्या वस्तूचा जडपणा या खेचणाऱ्या शक्तीला शरण जातो व ढकलणाऱ्याला घाम फुटतो. त्याला अतिरिक्त शक्ती खर्च करावी लागते. रथ ओढणाऱ्या घोड्यानं मान टाकली तर स्वार उतारावरून मागे गेलाच समजायचा. यालाच वस्तुचं जडत्व (inertia) म्हणतात. साहजिकच वस्तूचं वस्तुमान जेवढं जास्त तेवढं ते गतीला अधिक विरोध करणार.”
“अरे विक्रमा, तू एवढं पुराण सांगतोयस..म्हणजे हे जडत्त्व, जडपणा, वस्तुमान व वजन सारखंच वाटायला लागलंय”
“अरे वेताळा, वस्तुमान ही वस्तूची अंदरकी बात असते. मग ती वस्तू मुंगी असो वा हत्ती असो. सूर्य असो वा धुळीचा कण असो  वा छोटासा अणू असो. पण वजन (weight) ही प्रभावाची निदर्शक आहे. राजाच्या दरबारी राजाच्या शब्दालाच सर्वाधिक वजन. त्याप्रमाणेच पृथ्वीजवळच्या सर्वांवर पृथ्वीचाच सर्वाधिक प्रभाव. खरेतर पृथ्वी जेव्हा तिच्यावरील मुंगीला जेव्हा ओढते तेव्हा न्युटनच्या ३ऱ्या नियमाप्रमाणे मुंगीही विरुध्द दिशेत खेचते. पण हे म्हणजे काजव्याने सूर्यापुढे चमकण्याइतकंच हास्यास्पद आहे. वस्तुचे वजन म्हणजे वस्तूवरील पृथ्वीचा प्रभाव.
समजा एक सपाट मैदान आहे. त्यावर सर्वत्र गुरुत्वाकर्षणाचा प्रभाव ‘g’ एवढा आहे. एकच वस्तू त्या मैदानावर कोठेही ठेवली तर तिचे वस्तुमान कायम तेच राहणार व गुरुत्वाकर्षणही कायम तेच राहणार.

 

मग त्या मैदानावर सर्वच ठिकाणी त्या वस्तुचे वजन या आयताच्या क्षेत्रफला इतके म्हणजे mXg  एवढे असणार. थोडक्यात W =m X g
“म्हणजे वस्तूच्या वजनात बदल झाला तर तो गुरुत्वाकर्षणामुळे होतो, वस्तुमानामुळे नाही?”
“अगदी बरोबर वेताळा. तुमचे दरबारातले वजन म्हणजे राजाने दिलेले महत्त्व. राजा बदलला तर वजनही बदलणार. तद्वतच पृथ्वीवरचा पदार्थ चंद्रावर नेला तर चंद्रावरची ‘g’ निराळी, पर्यायाने चंद्रावरचे वजन निराळे. खऱ्यात सांगायचे झाले तर पृथ्वीचा ‘g’ हा चंद्रजींच्या ‘g’ सहापट. म्हणून पृथ्वीवर तुमचं वजन ९०N असेल तर चंद्रावर ते १५N असणार. आणि हो वस्तुमान कि.ग्रा. मधे मोजतात व वजन न्यूटन मध्ये मोजतात.”
“मग राजा तुझ्या राज्यात तर सर्वजण किलोग्राम मध्ये वजन सांगतात. ते चुकीचेच समजायचे का?”
“वेताळा तू एक अद्भुत भूत आहेस. ते फारसे चुकीचे नाहीत. वजन मोजताना तराजूच्या एकापारड्यात माप आणि दुसऱ्या पारड्यात वस्तू ठेवतात. जेव्हा ते सारख्याच वस्तुमानाचे होतात, तेव्हाच त्यांचे वजन सारखे होते व काटा मध्यभागी स्थिर होतो. दोघांच्या वजनात एकदशलक्ष्यांशाइतका फरक वाटला तरीही व्यवहारासाठी तो नगण्यच मानायचा.”
“राजा तू मगाशी चंद्राचा उल्लेख केलास. पण आज अमावस्या. ती तर संपली व उत्तररात्र झाली. हा मी चाललो माझ्या स्थानाकडे. पण वस्तूच्या वजनासारखीच आणखी काही भुते तिला सतत छळत असतात व ती नक्की कशी व कुठे छळतील हे सांगता येत नाही. कसा रे तू? तुला काहीच माहित नाही. पुन्हा येतो तुझ्या मानगुटीवर बसायला. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
वेताळ ज्या दिशेने गेला त्या वाटेवरील एका पानावर खालील अक्षरे उमटली

 

  • वजन( Weight)= वस्तुमान(Mass) x गुरुत्त्वत्वरण  (g)
  • वजन सदीश असून वस्तुमान अदीश आहे
  • वस्तुमान व जडत्त्वाचा निकटचा संबंध. एवढेच काय तर वस्तूचे जडत्त्व हे वस्तुमानाच्या प्रमाणात असते
  • पृथ्वी व चंद्रावरील वस्तूचे वस्तुमान एकच पण व वजन निराळे.
  • gपृथ्वी = ६ x gचंद्र

(क्रमश:)