वळताना रस्ता असा तिरका का होतो? (Safe drive and Angle of banking )

एकंदर वळणं हा माणसाच्या आयुष्याचाच एक न चुकवता येणारा भाग..कधी चांगलं तर कधी वाईटाकडे नेणारं.. पण वळणा आधी पुढं काय लिहून ठेवलंय हे माहीतच असेल असं नाही.. वळणा आधी पाऊस आणि नंतर बघावं तर कोरडेपणा.. सुंदर गाण्यासारखा रस्ता छान चालला असताना अचानक एखाद्या वळणानंतर तो रस्ताच खाच खळग्यांमध्ये हरवून जावा.. वाळवंटात मृगजळ पाहूनच तहान भागवत असताना एका वळणानंतर कापणीला आलेल्या पिकाचे ताफेच्या ताफेच स्वागताला उभे असावेत.. जोरात जाताना अचानक एका वळणानंतर गाडीच थांबवावी लागावी.. असं काय असतं बरं या वळणांमध्ये? एका पायवाटेवरून दुसऱ्या पायवाटेकडे जातांना विक्रमाने एका मोठ्या दगडाभोवती वळण घेतलं.. एक साप सळसळत पुढं गेला.. एका क्षणापुरतं त्याच्याही छातीत धस्स झालं..

“विक्रमा, धोक्याचं वळण कधी सांगून येत नाही. आता तो विषारी साप तुझ्या पायाखाली आला असता तर सारा रंगच पालटला असता तुझा.. अगदी काळानिळा.. थोडक्यात बचावलास.. पण काय रे विक्रमा हे वळण वगैरे काय विचार आहेत तुझे? अशा वळणावर साप, वाघ वगैरे नाही भेटले तर या वळणांवर कसला धोका आहे? पदार्थविज्ञानातली काही अगोचर भूते इथेही टिपलेली आहेत?”

“वेताळा, तसं म्हटलं तर प्रत्येक वळणावर प्रत्येक चालक आपली गाडी पूर्ण पणे थांबवून पुढचा अंदाज घेऊन मगच पुढे जाउ शकतो. अगदी सपाट रस्त्यावर जाताना वळण आलं तरीसुद्धा तुम्हाला गाडीचा वेग अतिशय कमी करुन मगच वळण घ्यावं लागतं. पण कल्पना कर आजकालच्या वाहनांच्या अतोनात गर्दीच्या काळात जेव्हा दिवसाला एखाद्या रस्त्यावरून हजारो, लाखो वाहने जात असतात ती वाहने अशी प्रत्येक वळणावर थांबून मग जाऊ लागली तर काय होईल? आणि रस्ते अतिशय सपाट, बिना-चढाचे, उताराचे असले..”

“असा रस्ता तू कुठं पाहिलायस का बिन चढा उताराचा?.. एकतर रस्त्यावर इतके खड्डे असतात की रस्ताच दिसत नाही..शिवाय घाटात जाताना चढ लागणार..उतरताना उतार लागणारच ना?”

“वेताळा मी चढ उतार म्हणतो तो रस्त्याला रुंदीच्या बाजूने(tilt given on the width) दिलेला चढ उतार.. म्हणजे रस्त्याची डावी बाजू वर उचललेली आणि उजवी बाजू खाली ठेवलेली.. त्यामुळे रस्ताच असा डावी कडून उजवीकडे कललेला असतो.. त्यामुळे अशा रस्त्यावरून उजवीकडे वळण घेणे सोपे जाते..अगदी ७०-८० च्या वेगात सुद्धा.. ”

“काय बोलतोयस काय? पण हा सगळा उद्योग कशाला करायचा? एवढे डांबर, दगडी, माती कशाला वाया घालवायचे? काय होतं अस करून? ”

“वेताळा गेल्या काही अमावास्यांना आपण घर्षण याविषयावर बोललो होतो. त्यातही चल घर्षण (kinetic friction) या विषयी आपण बोललो होतो. डोंगरावर चढताना किंवा कुठल्यातरी टेकाडावर तोल सांभाळायचा प्रयत्न करत असताना मदतीला येते ते हे घर्षण. घर्षण म्हणजे नुसतेच घासणे किंवा झिजणे नव्हे. घासून झीज करण्याच्या बदल्यात हे घर्षण अनेक वेळा तुमचा जीव वाचवत असते. मुख्य म्हणजे हे घर्षण त्या डोंगराला असलेल्या चढाच्या प्रमाणात मदत करते. चढ जास्त असेल तर बुटाचे, काठीचे घर्षण जास्त, घर्षणाचा गुणांक जास्त (coefficient of friction).. u = tan θ. त्यातही पाहिलं तर वस्तू एका ठिकाणी असेल तर घर्षण जास्त.. हलत असेल तर घर्षण कमी.. ”

“अरे हो रे विक्रमा, झाली उजळणी.. पण वळणावर हा रस्त्याला कल (tilt) का दिला?”

roadTurn

“हे बघ वेताळा, जेव्हा चालक असा एका वळणाच्या इथे येतो तेव्हा त्याला वेग प्राप्त झालेला असतो.. तसेच सरळ रस्त्यावरून तो येत असल्याने दिशाही प्राप्त झालेली असते.. त्याचे जडत्वच त्याला आहे त्या वेगात आणि दिशेत पुढे पुढे नेत असते.. अशा वेळी जेव्हा वळण येते तेव्हा दिशा बदलणे अति महत्वाचे होऊन जाते.. सरळ गेला तर ती गाडी रस्त्याजवळच्या शेतात जाईल.. दुसरा ट्र्क उभा असेल तर त्याच्यावर आदळेल.. एकंदरीत काय तर नीट वळलं नाही तर अपघात ठरलेला.. नुकसान निश्चित.. ”

turnOnRoad

“घर्षण आहे ना मदतीला? ते पाहून घेईलना ? त्यासाठी अख्खा रस्ताच असा तिरका बनवायचा?”

“अरे वेताळा, बरोबर आहे तुझं.. पण येणाऱ्या जाणाऱ्या प्रत्येक वाहनाला तेवढं घर्षण करून जा म्हणजे काय करा हे सांगावं लागेल. इतक्या मोठ्या प्रमाणात गाड्यांची चाके घासली गेली, तितक्या मोठ्या प्रमाणात रस्ता घासला गेला तर होणारं नुकसान सुद्धा मोठं. शिवाय हे घासलं जाणं तितकं भरोशाचं असेलच असे नाही..म्हणजे त्या वळणावर तेल सांडलं पाणी सांडलं, चिखल झालं तर घसरून अपघात ठरलेले.. त्यापेक्षा तो वळणांवरचा रस्ताच जर तिरका केला तर त्यावरून जाणारी वाहनेसुद्धा थोडी कलून जायला लागतील..

roadTurnBanked

“घासणं थोडं बेभरोशाचंच आहे हे कळलं.. पण अशी तिरक्या रस्त्यावर तिरकी गाडी नेऊन तरी काय फायदा होतोय? ”

“वेताळा अशा वळणावर काही धाडसी चालकांना गाडी तिरकी करायला आवडते. गाडी सरळची तिरकी झाली की ती जणूकाही एका वर्तुळाच्या भोवतीच आपण चालवू लागतो. सरळ चाललेली गाडी वर्तुळाकार जाऊ लागते. या वर्तुळाकार मार्गाने जाताना मग वर्तुळाच्या केंद्राकडे खेचणारे बळ (centripetal force) आपल्याला जाणवू लागते. हे बळ जणू काही आपल्याला फिरवत ठेवते. गाडीचा वेग जसा कमी होतो तसे आपण केंद्राजवळून गाडी चालवू लागतो. वेग अधिक असेल तर केंद्रापासून थोडे लांब लांब जातो. पण एकूणच वेग कितीही कमी जास्त असला तरीही गाडी रस्ता सोडून जात नाही, आपलं त्या वेगावर नियंत्रण राहतं..उजवीकडे वळण घेताना हे काल्पनिक केंद्र आपल्या उजवीकडे असतं आणि डावीकडे वळण घेताना हे केंद्र आपल्या डावीकडे असतं.. ”

circularMotionBankAngle

“म्हणजे उजवीकडे वळण असेल तर रस्ता डावीकडे वर उचलायचा आणि डावीकडे वळायचं असेल तर रस्ता उजवीकडे उचलायचा असं होय.. पण तरीही हे केंद्राकडे ओढणारे बळ गाडीला सुरक्षित कसे ठेवते हे नाही सांगितलंस.. ”

“वेताळा असं समजूया की ही गाडी काल्पनिक केंद्रापासून R इतक्या अंतरावरून वळत आहे. वर्तुळाकार मार्गावर तिचा वेग v मी/ सेकंद आहे. भरावाचा कोन θ इतका आहे. गाडीचे वस्तुमान m कि.ग्रा. त्यामुळे वजन w  हे m.g N इतके आहे. त्या रस्त्याचा गतिज घर्षण स्थिरांक μ इतका आहे. या घर्षणाने तिरक्या रस्त्याच्या लंबरूप N इतके बळ लावले.”

angleOfBankCalc

“आता हे पहा वेताळा, गाडी जेव्हा वळण घेतेय उजवीकडे तेव्हा ती तिच्या वर्तुळाकार रस्त्यावरून जातच आहे. तिला केंद्राकडे खेचणाऱ्या बळाने तिला उतारावर गुरुत्वाकर्षणा खाली घसरू दिलं नाही आणि खालच्या रस्त्याशी जास्त घासूही दिलं नाही.

N cos θ = m.g –(1)

चालकाने उजवीकडे वळवण्यासाठी बळ लावले आणि गतिनियमानुसार विस्थापन हे बळाच्या दिशेतच होते. म्हणजेच गाडी वळत राहिली. थोडक्यांत काय तर या केंद्राकडे खेचणाऱ्या बळाने गुरुत्वाकर्षणावर मत केली.

N sin θ = mv²/R –(2)

समीकरण (२) ला (१) ने भागले असता..

tan θ = v²/R.g –(3)

v² = R.g.tanθ

v = √(R.g.tanθ)

“अरे पण विक्रमा वेगात आणि या भरावाचा कोन यांच्यात काही थेट संबंध आहे का?”

 

banAngleMeasure

 

“वेताळा आपण पाहतोय तसं उदाहरण (३) आणि (४) वरून

relation_v and theta

“म्हणजेच काय तर तुम्ही तुमचा वेग या हिशेबात ठेवलात तर काहीच प्रश्न येणार नाही. वेग कमी जास्त जरी झाला तरीही चाके आणि रस्त्यामधले घर्षण तुमच्या गाडीची काही मर्यादेपर्यंत काळजी घेईलच. एकूणच हे धोक्याचं वळण निर्धोक करण्यात आपण बऱ्याच प्रमाणात यशस्वी ठरतो. रस्ता तिरका केल्यामुळे सारी मदार आपण घर्षणावर टाकली नाही. त्यामुळे सुरक्षेची खात्रीही झाली.”

“विक्रमा साधारण एखादे उदाहरण दे रे..फार लांबड लावू नकोस बरका..”

“समजा एखादा रस्ता जास्तीत जास्त १२० किमी प्रतितास वेगासाठी बनवलेला आहे. वळरस्त्याची त्रिज्या(radius of arc) साधारण ६०० मीटर आहे. तर यामध्ये पहिल्यांदा वेग हा मी/ सेकंद मध्ये करून घेऊ. तो साधारण ३३.३४ मी/सेकंद येतो. यावरून tan θ = v²/R.g या सूत्रात किंमती घालू

tan θ = ३३.३४ x  ३३.३४ / (५८८०) = .१८९ = ~.2.

यावरुन साधारण १५ अंश एवढ्या कोनात रस्ता उचलला तर काम होण्यासारखे आहे. रस्ता समजा ६० फूट रुंदीचा आहे असं समजलं तर tan θ = h / b म्हणजेच .२ = h / ६० यावरुन h = ६० x .२ = १२ फूट. म्हणजेच तो रस्ता एका टोकाला १२ फूट इतका उचलावा लागेल. ”

“अरे वा विक्रमा, तू तर रस्ता किती उचलायचा हे पण सांगितलंस. पण एवढं सगळं करुनही अपघात होतातच ना? एवढी वळणे घेउनही वाहने रस्ता सोडून बाहेर जातात, वेग चालकाच्या आवाक्याबाहेर जातो. त्या अर्थी या वर्तुळाकार हालचालीमध्ये असा काहीतरी आवाक्याबाहेर जाणारा वेग (escape velocity) सुद्धा असतो. म्हणजे झोके घेताना वेग जास्त झाला तर तो झोके घेणाराच बाहेर फेकला जाण्याची शक्यता. गोफणीला लावलेला दगड ती गोफण गर-गर-गर फिरवून जेव्हा जोरात फेकला जातो तो सुद्धा हा अतिरिक्त वेगच असतो. गोळाफेक करणारा खेळाडू गोळा घेउन स्वत:भोवती जोर-जोरात फिरतो तेव्हा तोही मुक्ती वेग..एवढंच काय पृथ्वीभोवती फिरणाऱ्या वस्तूचा वेगही खूप जास्त झाला तर ती वस्तूही बाहेर फेकली जाते..पण तुला या बद्दल काहीच सांगता आलं नाही रे! काय हे! पण आता मात्र मी निघालो, वेळेच्या या टप्प्यावर मी पुन्हा वळण घेउन उलट पावली चाललो बरका..पुन्हा भेटू विक्रमा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

(क्रमश:)

मूळकथा: मुखपृष्ठ

Advertisements

चल घर्षण : स्थायुंच्या सर्कस चा रिंगमास्टर (Kinetic Friction : The Ringmaster who controls the movements of solids )

संतुलनांचे दोन प्रकार, एका ठिकाणी स्थिर ठेवणारे आणि गतिमान असतानाही तोलून धरणारे, गतीतही पडू न देणारे आणि सुरक्षित कक्षेबाहेर न जाऊ देणारे. काहीतरी गुपित आहे या गतिमान संतुलनात..सर्कस मधले भेसूर चेहऱ्याचे वाघ सिंह जसे रिंग मास्टर च्या तालावर नाचतात तसे कोणीतरी या सतत पळणाऱ्या स्थायु द्रव्यांना नियंत्रित करत असतो हे निश्चित. वाघ सिंह जर आवरेनासे झाले तर सर्कस हा जसा मृत्यूचा सापळा होतो तसे हे घर्षण वगैरे नियंत्रक जर निष्प्रभ झाले तर अपघात, नुकसान ठरलेलेच. पण या वेगाला कवेत घेणे तसे अवघडच..वाळवंटात जसं मृगजळ, आकाशात जसं इंद्रधनुष्य आणि माणसाला जशी आशा कायम वाकुल्या दाखवत राहते आणि सारखंच पळायला उद्युक्त करते तसंच हे अदृष्य बळ..काय असावं बरं यामागचं गमक?”

“वेताळाच्या अनामिक आकर्षणापोटी दर अमावस्येला भेटायला येणाऱ्या विक्रमाच्या डोक्यात अशाच काहिशा विचारांचे कारंजे थुई थुई नाचत होते. “पडलास ना आपणच बनवलेल्या खड्ड्यात? मी मागंच म्हणलो होतो असं घर्षण बिर्षण काहीही नसतं..पण तू काय किंवा तुम्ही मानव काय, स्वत:लाच सगळं कळतं अशा अविर्भावात राहता..आता तर काय स्थिर घर्षण आणि चल घर्षण असे त्यांच्यात भाऊबंदही शोधलेत..मागे काय जडत्व म्हणाला होतास. ते जडत्व म्हणे पदार्थाच्या वेगात बदल होऊ द्यायला पायबंद करतं. मग असं सगळं आहे तर पुन्हा हे चल घर्षण कशाला हवं आहे? कमाल आहे तुमची लेकांनो..”

“कसंय माहिती का वेताळा, मागील वेळी चढावर स्थिर राहायला ”किती घर्षण लागते हे आपण पाहिले होते. याअर्थी स्थिर घर्षण(static friction) हे वस्तूला एका जागी स्थिर राहायला मदत करते तर चल घर्षण (kinetic friction) हे वस्तू वेगवान असली तरीही तिला सैरभैर होऊ देत नाही, रस्ता सोडू देत नाही. शिवाय वस्तूला एका जागी धरून ठेवणारे घर्षण हे त्या वस्तूला गतीमध्ये ठेवूनही नियंत्रण करणाऱ्या घर्षणापेक्षा जास्तच असते. (Friction that stops a non-moving object from moving is always greater than the friction that keeps an object in motion.)”

“पण विक्रमा एखादी वस्तू चांगली पळतेय, व्यवस्थित जातेय तर मग तिथे तुमचं ते घर्षण असेलच कशाला?”

“हे बघ वेताळा, समजा एक माणूस लाकडाचा मोठ्ठाला मोळा घेऊन किंवा एखादे धान्याचे मोठे पोते घेऊन घासत, ओढत निघाला आहे. त्यावेळी ते पोतं आणि खालची जमीन यांच्यामध्ये संपर्क होत आहे. जर पोत्याचा पृष्ठभाग किंवा जमीन फारच गुळगुळीत झाली तर पोतं घसरू लागेल..”

“अरे विक्रमा, आपल्याला तेच तर हवं आहे ना? तुम्हाला कमीत कमी श्रमात त्या पोत्याला न्यायचं आहे ना?”

“हो वेताळा, पण असं घसरलं तर नियंत्रण कुठे राहतं वेगावर? ओल्या दगडावर पाय ठेवला व त्यावरून घसरलं तर कडेलोट ठरलेलाच..पण असे घसरताना थोडेजरी घर्षण होत राहिले तर वेगावर नियंत्रण राहते, तोल सांभाळला जातो आणि त्यामुळे मुख्य म्हणजे जीव वाचण्याची शक्यता असते.”

“नाही गाडी रस्त्यावरून जात आहे, घसरून पडत नाही म्हणजे त्यांच्यात काही धरून ठेवणारे आहे असे म्हणतोस.. त्याला चल घर्षण म्हणजे ‘घासतंय पण पूर्ण थांबवत नाहीये’ असे काहीतरी तिथं आहे असे तू म्हणतोस.. ते तिथून गेलं तर काय होतं ?

“सटकणे, निसरडी वाट, चालता चालता तोल जाणे असे जे प्रकार आहेत किंवा अगदी चालता चालता केळाच्या सालीवरून पडणे असे जे चित्रपटामधून दाखवलं जातं ते हे चल घर्षण निष्प्रभ झाल्याचे दाखवते. शिवाय वाळूवरून, मातीवरून जाताना आपण घसरतो, साबणाच्या पाण्यावरून घसरतो चालता चालता, रस्त्यावर तेल सांडले तर त्यावरून गाड्या घसरतात, मोटार गाड्यांची रबरी चाके अतिवापरामुळे घासून गोटा झाली तर गाड्या घसरतात (skid) अशी नेहमीच्या बघण्यातली कित्येक उदाहरणे देता येतील.”

“पण मग विक्रमा हे चल घर्षण किती हवं हे कसं ठरतं किंवा जे दोन पृष्ठभाग एकमेकांना घासतायत, एकमेकांवर घासतायत त्याचा गुणक(coefficient of kinetic friction ) की काय तो किती असावा?”

“त्याचं कसं आहे वेताळा?”

“नाही ते कसं आहे या आधी या स्थिर घर्षणाचे (static friction) व चल घर्षणाचे (kinetic friction) उदाहरण दे ..”

“हे बघ वेताळा, एका मोठ्या लाकडी ठोकळ्यावर एक लहान ठोकळा ठेवला आहे. मोठा ठोकळा हा जमिनीशी १५ अंश कोन करून ठेवलाय. या स्थितीत त्याच्यावरचा लहान ठोकळा घसरत नाहीये असं समजू. मग जमिनीशी असलेला कोन १५ ऐवजी ३० अंश केला. तरीही लहान ठोकळा घसरत नाहीये. पण जसा जमिनीशी असलेला कोन ४५, ६०, ७०, ८० अंश झाला तसा लहान ठोकळा घसरू लागला. म्हणजे ८९ अंशापर्यंत होतं ते स्थिर घर्षण. या स्थिर घर्षणाचा गुणांक झाला tan (89) = ५७. ”

staticFrictionCoeffMeasure

“बर आणि मग चल घर्षण कसे मोजायचे याच दोन ठोकळ्यांचे? ”

“चल घर्षण मोजण्यासाठी खालचा ठोकळा समजा जमिनीशी ३० अंशाचा कोन करून ठेवला. त्यावर वरून लहान ठोकळा हळूच टाकला. जर लहान ठोकळा खालपर्यंत न येता मोठ्या ठोकळ्यावरच थोडं घसरून थांबत असेल तर घर्षण हे गुरुत्वाकर्षणावर मात करतंय.”

“मग आता रे विक्रमा ?”

“मोठा ठोकळा १०, २०, ३०, ४०, ५० अंश असे कोन करून पुन्हा पुन्हा लहान ठोकळा त्यावर हळूच टाकायचा. जेव्हा लहान ठोकळा मोठ्या ठोकळ्यावरून एकसमान वेगाने खालपर्यंत येईल, म्हणजे ज्या कोनाला उदाहरणार्थ ५० अंश कोनाला जर लहान ठोकळा एकसमान वेगाने खाली येईल त्या वेळी गुरुत्वाकर्षणाने घर्षणावर मात केली असं समजायचं. त्यावेळी असलेला घर्षण गुणांक म्हणजे tan ( ५० अंश)= १. १९.”

“अरेच्चा, म्हणजे त्या ठोकळ्यामधला स्थिर घर्षण गुणांक(coefficient of static friction ) हा चल घर्षण गुणांका(coefficient of kinetic friction) पेक्षा जास्त आहे.. ”

“हो साहजिकच आहे ना.. तो ठोकळा स्थिर होता त्यामुळे त्याला हलवायला जास्त कष्ट लागले. म्हणजे घर्षण जास्त नडले. पण जेव्हा त्याला आधीच गती होती, म्हणजे त्याला गती देणारे बाह्यबळ व गुरुत्वाकर्षण एकाच दिशेत म्हणजे घर्षणाच्या विरोधी दिशेत काम करत होती.. घर्षण फिके पडले दोन विरोधकांसमोर .. ”

“अरे विक्रमा, उदाहरण दे रे जरा.. आकृत्या काढ.. कसं कळायचं मला असे हवेत बाण मारल्यावर?”slideJourney

“हे बघ वेताळा, आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे एक मोठा सपाट ठोकळा जमिनीशी ३० अंश कोन करून ठेवलाय. त्यावर छोटा ठोकळा १ या ठिकाणाहून सोडला, तो मोठ्या ठोकळ्यावर २ या ठिकाणी पडला व घसरत गेला ३ या ठिकाणापर्यंत. आपण एवढाच मार्ग गृहित धरलाय. आता २ या ठिकाणी काय होत असेल ते आकृतीत दाखवलंय.”

“विक्रमा हे वेगवेगळे रंगीबेरंगी बाण कसले आहेत?”

“वेताळा छोटया ठोकळ्याच्या प्रवासात त्याला अनेक बाह्यबलांचा सामना करावा लागतो.. ती बळे वेगवेगळ्या दिशेत कामे करत असतात. जसे टाकणारे बळ वरून खाली काम करतंय. छोट्या ठोकळ्याचे वजन वरून खाली काम करतंय. वजन म्हणजेच खाली खेचणारे गुरुत्वबळ. शिवाय छोटा ठोकळा मोठ्या ठोकळ्यावर पडल्यावर त्याला एक गती प्राप्त झाली, संवेग प्राप्त झाला तो एका दिशेत म्हणजे मोठ्या ठोकळ्याच्या उताराच्या दिशेत आहे. याशिवाय या हालचालीला विरोध करणारे चल घर्षण त्या मोठ्या ठोकळ्याच्या पृष्ठभागाच्या लंब दिशेत काम करतंय.. ”

“म्हणजे कसं काम करतंय? पृष्ठभागाला लंब दिशा म्हणजे ?”

Image result for fountain drawing

(copyright:tintin.com)

“म्हणजे तू कारंज पाहिलं आहेस? आडव्या पसरलेल्या जलाशयावर कारंज कसं सरळ सोट आकाशाकडे जातं तसं हे घर्षण काम करत असतं.. घासणारा पृष्ठभाग आडवा असेल तर चल घर्षण उभं काम करतं ”

“पण काय रे विक्रमा, स्थिर व चल घर्षण गुणांका मध्ये इतका जमीन अस्मानाचा फरक असतो? शिवाय या चल घर्षणासाठी व गुणांकासाठी ती काटेरी आकृती नाही काढलीस व त्याचे सूत्र नाही सांगितलेस! ”

“वेताळा या काटेरी आकृतीला Free Body Diagram म्हणतात. वस्तूवर कोणत्याही वेळी काम करणाऱ्या बलांची कल्पना येण्यासाठी ही आकृती काढली जाते. आता आपण २ या स्थानी वस्तू पडली आणि सरकू लागली त्यावेळी त्या ठोकळ्यावर कोणकोणती बळे काम करत होती व ती कुठल्या दिशेत काम करत होती हे पाहू. ”

forces_pos2

“विक्रमा, पृष्ठभागाला लंबरूप (Normal to surface) असं चल घर्षण काम करतंय. त्याचवेळी त्या ठोकळ्याला गुरुत्वबळ खाली ओढतंय. मग ही दोन्ही बळे वस्तूवर किती प्रभाव गाजवतात ते कसं समजायचं ?”

kineticCoeff

“हे बघ वेताळा, त्या काटेरी आकृतीमध्ये आता पाहू की कोणती बळे प्रभाव गाजवतायत. हवेचा विरोध वगैरे आपण बाजूला ठेवू. तर राहिले खाली ओढणारे गुरुत्वाकर्षण बळ आणि त्या विरोधात पृष्ठभागाला लंबरूप असे वस्तूला ढकलू पाहणारे घर्षण बळ. पण गुरुत्वाकर्षण त्यावर शेवटी मात करते. आकृती प्रमाणे

  • गुरुत्वाकर्षणाचा काही हिस्सा (F Gravity.Cos Θ) घर्षणावर मत करण्यासाठी खर्च होतो.
  • राहिलेला हिस्सा (F Gravity.SinΘ)वस्तूला खालच्या पृष्ठभागावर घसरवत राहतो उताराच्या दिशेत.

यावरून घर्षणाचा गुणांक (coefficient of kinetic friction) होतो µkinetic= tan Θ.

म्हणजे वेताळा फिरून फिरून आपण त्या मोठ्या ठोकळ्याने पृष्ठभागाशी किती कोन केलाय तिथंच येतोय. हा कोन जेवढा जास्त तेवढा घर्षण गुणांक जास्त आणि तेवढी घसरून पडायची शक्यता कमी. याचा उपयोग करुन रस्त्यावरचा प्रवास सुरक्षित करता येतो. खासकरुन वळणे घेताना तोल जाऊ नये म्हणून भराव घातला जातो व हा उतार वाढवला जातो. रस्ता वळणांशी पूर्ण सपाट न होता क्षितिजसमांतर पातळीशी काही कोन करतो. त्यामुळे चल घर्षण गुणांक(coefficient of kinetic friction) वाढतो. घर्षण वाढतं. यालाच सुरक्षित वळणाचा किंवा वाढीव घर्षणाचा कोन (Angle of Banking) असे म्हणतात. एक मौत का कुवा(Death Well) नावाचा साहसी खेळ आहे..यात अक्षरश: उभ्या भिंतींवर गाडी चालवतात..गोल..गोल..चल घर्षण व जमिनीशी केलेल्या कोनाचं तत्च कळलं तर ह्या खेळातलं पदार्थविज्ञान लगेचच लक्षात येईल”

“म्हणजे विक्रमा या भिंतीचा जमिनीशी असलेला कोन साधारण ८८-८९ अंश असेल. तिथे तू वर सांगितलंस तसा चल घर्षणाचा गुणांक (coefficient of kinetic friction) सुद्धा खूप जास्त असेल. म्हणजे चालवणाऱ्याला हे घर्षण मदत करेल व पडू देणार नाही..”

“हो, पण महत्वाचे म्हणजे वेग कायम ठेवावा लागेल. वेग वाढला की गाडी वर जाऊ लागेल. कमी झाला की खाली जाऊ लागेल. वेग अचानक कमी झाला की मात्र धोका आहे. ”

“हो भयंकर खेळ वाटतो..म्हणजे आहेच. पण चालवायचं तंत्र कळलं आणि जमलं तर मजा. पण विक्रमा, रस्त्यावरचं वळण सुरक्षित होण्यासाठी तुम्ही भराव घालता? हे कसं होतं? शिवाय असं वळताना ती वाहने बाहेर कशी फेकली जात नाहीत? थोडक्यात वर्तुळाकार चालीचा व घर्षणाचा काहीतरी संबंध असणार हे निश्चित. पण तू कधी सांगितलंच नाहीस मला. का तुला हे माहितच नाही? काय रे हे विक्रमा किती साधी गोष्ट नाही का ही? असो जाऊ दे, पुढील वेळी मात्र चांगला अभ्यास करून ये. आता मी जातो..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

(क्रमश:)

मूळ कथा: मुखपृष्ठ

घर्षण – थांबवून ठेवणारा, नियंत्रण करणारा, अपघात टाळणारा वाहतूक पोलीस (Friction – The Traffic Police)

क्रियेला प्रतिक्रिया, ठोशाला ठोसा, जशास तसे हा तर जगाचा शिरस्ता. राज्यातील काही लोक दिलेले आदेश पाळण्यात अति घाई करणारे तर काही अजिबातच न बाधणारे, स्वतःचे हित असूनही विरोध करणारे, तक्रारी करणारे, अडचणी सांगणारे. बर गुप्तहेर खात्याकडून विचारणा करावी तर या लोकांचे शत्रू राष्ट्राशी काहीही संबंध नाहीत हे निश्चितच. मग तरीही काही लोक असे सतत का विरोध करतात याचे विक्रमला अप्रूप वाटे. पण त्यासंबंधी राज्यातल्या राजगुरूंनी फार सुंदर दृष्टांत दिला ते म्हणाले “राजा असं पहा.. जगात जंगली श्वापदे आहेत, नरभक्षक वाघ -सिंह आहेत, टवाळ लांडगे-कोल्हे आहेत, ताकदवान रेडे-गवे आहेत आणि नाजूक ससेही आहेत. सगळे असले तरच जगाला अर्थ आहे. यातील कोणी एकाची संख्या प्रमाणाबाहेर वाढली आणि दुसऱ्याची कमी झाली तर जगात अनर्थ आहे. समतोल, संतुलन हा विश्वाचा नियम आहे “.. विक्रम राजा याचा विचार करतच, नुकत्याच पावसाची रिपरिप झालेल्या रानवाटेवरून झपाझप पावले टाकत होता.. छोट्या छोटया डबक्यातून जाताना पायाचा चुबुक चुबुक आवाज होत होता..

“अरे विक्रमा एक राजा असून तुझा प्रजाजनांवर अविश्वास?.. तुला सतर्क राहायलाच हवे म्हणा..शत्रू कोठे कसा दबा धरून बसलेला असेल याचा अंदाज बांधणे हे महाकठीण काम.. असो. पण मला सांग की तुमच्या पदार्थविज्ञानात असा कोणी संतुलन करणारा, वाट रोखून धरणारा आहे का ?”
“वेताळा, आपण आधी बोललो होतो तसं स्थायू , द्रव , वायू, तेज व मन ही पाच द्रव्ये एकमेकांवर बळ प्रयुक्त करत असतात, ढकलाढकली करतात. जवळ जातात लांब जातात सर्व काही करत राहतात. प्रशस्तपादांनी सांगूनच ठेवले आहे की
क्षितिजलज्योतिरनिलमनसां क्रियावत्त्वमूर्त्तत्वपरत्वापरत्ववेगवत्वानि ||23||
अर्थात स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात.”

पण या सर्व धावपळीत आपल्याला हे लक्षात घ्यायला हवं की जेव्हा एक वस्तू हालचाल करते तेव्हा त्याच्या संपर्कातली इतर वस्तू त्याच्या हालचालीवर परिणाम करतात. म्हणजे ओंडका जमिनीवरून ओढला जात असतो तेव्हा जमीन विरोध करते. पाण्याच्या प्रवाहाला नदीपात्रातले खडक विरोध करतात. जोरदार हवा असलेल्या ठिकाणी वायूसुद्धा विरोध केल्याचे दिसते. एखाद्या दरीत हलकी वस्तू टाकली तर नाहीका ती वायूच्या झोतामुळे परत वर येते. अशा प्रकारे स्थायू, द्रव आणि वायू हे त्यांच्या संपर्कातील वस्तूंच्या हालचालीवर प्रभाव गाजवतात, नियंत्रण ठेवतात. पण माणसाने मात्र या गोष्टीचाही स्वत:च्या फायद्यासाठी उपयोग करून घेतला आहे..”

“आपुली आपण करी स्तुती, तो एक मूर्ख..तू लागलास माणसांचे गुणगान करायला!..पण या हालचाली माणसाने कशा वापरल्यात ते सांग..”
“हे पहा..या हालचाली कोणत्या आत्म्याने निर्माण केलेल्या आहेत का त्या नैसर्गिक प्रकारच्या आहेत हे आधी पाहिले पाहिजे.”
“विक्रमा, तुला असं वाटेल की आत्मा म्हणलं की मी घाबरेन वगैरे तर तसं नाही बरंका .. मी पण वेताळच आहे हे ध्यानात ठेव.. ”
विक्रमला हसूच फुटलं, “अरे तसं नाही म्हणायचं मला.. म्हणजे कोणत्यातरी सजीवाने असे म्हणायचे होते मला. तर ती अशी सजीवाने निर्माण केलेली हालचाल असेल किंवा ती हालचाल नदीच्या पाण्याने दगड फोडले, ढकलले जावेत असे नैसर्गिक तरीही निर्जीव प्रेरित सुद्धा असू शकेल.. एक उदाहरण घेऊ.. समजा एका सारथ्याला डोंगर उतारावर मार्गात एक धोंडा दिसतोय. त्याला तो दूर करायचाय. तो काय करेल तर पूर्ण शक्तीनिशी तो धोंडा ढकलून देईल.. मग तो धोंडा कुठे जाऊन पडला, कुठे दरीत कोसळला याचं त्याला काहीही पडलेलं नसेल.. पण याच ठिकाणी डोंगर उतारावर त्याचा घोडा जखमी झाला व रथ बाजूला करून ठेवायचा झाला तर तो काय करेल.. रथ घोड्यापासून वेगळा करेल व ओढत ओढत बाजूला नेईल.. ”
“अरे विक्रम काय सांगतोयस मला हे.. काय विशेष आहे त्यात.. दगड ढकलून देण्यात व रथ ढकलण्यात वा ओढण्यात काय फरक आहे ? ”
“मुख्य फरक हा आहे की ढकललेल्या दगडाचे काय होईल याची काही फिकीर नाही पण ढकललेल्या रथाचे काय होईल याची फिकीर आहे.. म्हणूनच रथ ढकलताना जो समतोलाचा विचार होता, रथ दरीत कोसळू न देण्याची जी काळजी घेतली गेली तिथे फरक पडला..”
“कळलं.. संतुलन, वेग वाढू न देणं, पण ही परिस्थिती ज्यामुळे हाताबाहेर नाही गेली, नियंत्रणात राहिली ती कशामुळे? तर त्या हुशार सारथ्यामुळे..नाही का !” “हो..सारथी हुशार होताच पण त्याने जे नियंत्रक बळ वापरलं, विरोधी बळ वापरलं तेही तितकंच महत्वाचं.. त्यालाच तर घर्षण(Friction ) म्हणतात.. ”
“घर्षण म्हणजे घासले जाणे या अर्थी ? ते बळ आहे? ”
“वेताळ घासाघिशीचे प्रकार आहेत..म्हणजे दोन वस्तूंना एकाच ठिकाणी बांधून ठेवणारे एक घर्षण, वेगाला लगाम घालणारे एक घर्षण ही झाली संतुलन करणारी घर्षणे पण हे घासणे हाताबाहेर गेले की याच घर्षणामुळे वस्तूंचे पृष्ठभाग प्रमाणाबाहेर घासले जातात व कायमचे खराब होऊन बसतात. शिवाय या घर्षणामुळे उष्णता निर्माण होते ती वेगळीच.. थोडक्यात मानवाला दोन दगड एकमेकाला घासून आग लागते हे जे घासणे होते तो शोध या घर्षणामुळेच लागला.. ”
“मला वाटतं तुला मुख्य मुद्द्याकडे परत आणायला मलाही शाब्दिक घर्षण करायला लागेल.. ते असो. पण मला काही उदाहरणे दे या प्रकारांची.. ”
“हे पहा वेताळा समजा एक माणूस डोंगरावर चढतोय..अगदीच पायथ्याला आहे.. तो तोल सावरत चढावर जाऊ लागलाय.. ते हे तोल सावरणं आहे तिथपासूनच घर्षण त्याला मदत करू लागलंय..”
“हे घर्षण की काय ते तोल सावरायला कसं मदत करतंय??”

Staticfriction
“वेताळा, वर दिलेल्या आकृतीत पाहा. जेव्हा माणूस उतारावर उभा आहे, तेव्हा त्याचं वजन हे एकमेव बळ त्याच्याकडे आहे W=F= M.g हे आपण आधी पाहिलंच होतं. यात M हे वस्तुमान आणि g हे गुरुत्वाकर्षणामुळे निर्माण झालेले त्वरण होय. आता तोल जाऊ नये, घसरून पडू नये यासाठी तो एकच गोष्ट करु शकतो ती म्हणजे त्याच्यात व खालच्या जमिनीत काहीतरी घर्षण निर्माण करणे व यासाठी तो दोन पाय घट्ट ठेवून उभा राहू शकतो, किंवा अजून एक काठी रोवून उभा राहू शकतो किंवा तिथल्या एखाद्या घट्ट रोवलेल्या दगडाभोवती किंवा झाडाभोवती एक दोर बांधून तो दोर स्वत:ला बांधून घेऊ शकतो.”
“पण विक्रमा हे घर्षणबल नक्की हवंय तरी किती?”
“वेताळा स्थिर उभं राहण्यासाठी आवश्यक असलेलं घर्षण बल खालील प्रमाणे

F friction = μ. Normal Force = μ.M.g. cos θ
यात

  • θ हा त्या चढाने सपाटीशी केलेला कोन आहे अंशांमधला(degrees)
  • तर μ हा घर्षण गुणांक(coefficient of friction) आहे.
  • त्याला घसरवणारे बळ (Shear Force) F घसरवणारे = M.g. sin θ इतके आहे
  • तर चढाच्या पृष्ठभागाशी लंब दिशेत काम करणारे म्हणजेच धरून ठेवणारे बळ (Normal Force) F टिकवणारे लंबरूप = M.g. cos θ ”

“मग त्याला आवश्यक असणारे किमान घर्षण बळ किती?”
“ते बळ म्हणजेच पृष्ठभागाशी लंबरूपात असणारे बळ हे घसरवणाऱ्याबळा इतके किंवा त्यापेक्षा मोठे हवे.
μ.M.g. cos θ > M.g. sin θ म्हणजेच थोडक्यात μ > tan θ”
“मग मला सांग जर तो चढ १५ अंश असेल तर हा घर्षण गुणांक किती असेल?”
“गुणांक असेल ०.२३”
“अरे विक्रमा पण काय अर्थ आहे रे या सर्वाचा? गणित ठीक आहे..पण यातून बोध काय घ्यायचा?”
“मुख्य बोध हा की सपाट सरळ रस्त्यावर तोल सावरणे सोपे असते. डोंगरावर चढताना तोल सावरायचा असेल तर फक्त घर्षण कामाला येते. μ > tan θ मध्ये चालणाऱ्याचे वजन = Mg आड येत नाही. कितीही वजनदार असला तरीही अडचण नाही, घर्षणाची काळजी घेतली म्हणजे झाले. शिवाय हे घर्षण tan च्या प्रमाणात बदलते असे सुद्धा आपण पाहिले. खालील तक्ता डोंगराचा चढ वाढत गेला की आवश्यक घर्षण कसे बदलत जाते हे दाखवतो. तितके जर घर्षण वाढले नाही तर घसरणं जवळजवळ निश्चितच. ”

chadhNtan
“आणि हा घर्षण गुणांक(coefficient of friction) काय भानगड आहे बुवा?”
“वेताळा, जेव्हा दोन स्थायू पृष्ठभाग एकमेकांच्या संपर्कात येतात म्हणजे समजा एखाद्या खडबडीत जमिनीवर तू चालतोयस..तर तिथे पायाची पकड अधिक चांगली असते व घसरून पडण्याची शक्यता कमी असते. पण जर तो पृष्ठभाग गुळगुळीत असेल किंवा जमिनीवर साबणाचे पाणी सांडलेले असेल तर तिथे घसरून पडण्याची शक्यता वाढते. घर्षण गुणांक हा त्या संपर्कात येणाऱ्या पृष्ठभागांची घर्षणाची क्षमता किंवा त्या वस्तूंना एकमेकाला धरून राहण्याची क्षमता(adhesion) दाखवतो.”
pointOfContact
“अरे विक्रमा हे कोणत्या राक्षसाचे दात आहेत?”
“वेताळा हे राक्षसाचे दात नव्हे तर दोन पृष्ठभागांना असलेला ओबडधोबडपणा आहे. वरवर पाहता वस्तु गुळगुळीत दिसत असल्या तरी जवळून पाहिले असता त्या खडबडीत असतात. हा खडबडीतपणा त्या वस्तू ज्यापदार्थाच्या बनल्या त्यावर अवलंबून असतो हा ओबडधोबडपणाच दोन पृष्ठभागांना धरून ठेवतो. जर हे दोन्ही पृठभाग गुळगुळीत झाले तर घसरण्याची, सटकण्याची शक्यता वाढेल. म्हणूनच ज्या दोन पृष्ठभागांमध्ये ही धरून ठेवण्यची क्षमता जास्त असेल ते पदार्थ वापरायची गरज असते. उदाहरण म्हणजे रबर आणि रस्त्याचे सिमेंट कॉंक्रिट यांच्यातील हा घर्षण गुणांक खूप जास्त आहे. म्हणूनच रबराची चाके सिमेंटच्या रस्त्याला धरून ठेवतात.”
coefficientOfFriction_table

“अरे विक्रमा, पण वरच्या तक्त्यात चढ वाढल्यावर लागणारा घर्षण गुणांक तर दोन आकड्यांमध्ये गेलाय आणि इथे तर १ च्यावर जायला तयार नाही.”

“हो, म्हणूनच तर एवढ्या चढावर दोरी वगैरे बांधून जावे लागते. Tan च्या प्रमाणात घर्षण वाढवणे माणसाला अशक्यच आहे. चढ ९० अंश झाला तर tan अगणित(infinity) होतो..तुझ्यासारखा वेताळच तिथे उभा राहू शकेल न पडता.. ”

“अरे पण राजा तू म्हणलास तसे एका ठिकाणी खिळवून ठेवू शकते ते स्थिर ठेवणारे घर्षण (Static Friction) आणि दोन पृष्ठभागांना सरकतानाही धरून ठेवते ते गतिमान घर्षण(Sliding Friction) तर या स्थिर घर्षणात नक्की किती बळ लावले की ती वस्तू हालू लागते सरकू लागते याविषयी काही तू सांगितलंच नाहीस..हा बदल कधी घडतो याची काहीच माहिती तुला दिसत नाही..उगीच वेताळालाच राक्षसाचे दात दाखवत बसलास झालं..त्या बिचाऱ्या मुक्या प्राण्यांना हे घर्षण कळत नाही म्हणून पावसाळ्यात दऱ्या डोंगरात हिरवा चारा दिसला की चढायला जातात आणि पाय घसरून खोल खोल दरीत पडतात आणि मरून जातात ती बिचारी..पण तुम्हा माणसांना हे कळत असूनही फोटो काढायच्या नादात तुम्हीही पडताच की रे.. काय उपयोग झाला पदार्थ विज्ञान कळून.. ती मुकी जनावरे निदान चारा तरी शोधत होती..तुम्ही काय शोधात होता? मरण? असो. पण आता प्रहर संपत आला, दुसरा सुरु होण्याआधी मला परत गेलं पाहिजे, पुढील वेळी अधिक अभ्यास करून ये..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

क्रमश:

मूळ कथा: मुखपृष्ठ

संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)

विक्रम आज जरा खुशीतच होता. गोष्टच तशी झाली होती. त्याच्या सैन्यासाठी आज त्याने अतिशय उत्तम अशा तोफा निवडल्या होत्या. असाच तो भरभर चालत असता मध्येच कधीतरी त्याच्या पाठीवर वेताळाचं धूड धप्पकन येउन बसलं तेव्हा कुठे त्याला अमावस्येचं, वेताळाचं, रात्रीचं आणि प्रश्नोत्तरांचं भान आलं.

“ गप्प का झालास राजा? आणि तू तुझ्या सैन्यासाठी तोफा निवडल्यास हे ही मला समजलं. बर मला एक सांग राजा, या तोफांमधून तुम्ही वेगाने तोफगोळा डागता तेव्हा ती तोफही थोडी मागे येते, थोडी आगही दिसते, तर मग ती तोफ गोळ्यासारखी मागे का फरफटत येत नाही?”

 

“वेताळा, युद्धासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तोफांमध्ये अजून एक अदृश्य पण अतिपरिचित भूत मदतीला धावून येतं. त्याचं नाव संवेग(momentum) किंवा एकरेषीय संवेग (linear momentum). संवेग म्हणजे कोणत्याही गतिमान वस्तूची गतीमध्ये राहण्याची प्रवृत्ती. न्यूटनच्या गतीनियमांनुसार संवेग परिवर्तन हे बलाच्या(force) दिशेतच होते म्हणूनच संवेग ही सदीशगोत्री (vector) राशी होय.”
“राजा, हा संवेग म्हणजे काहिसा जडत्वा सारखा प्रकार वाटतो. जडत्त्व(inertia) म्हणजे पण वस्तू स्वत:ची स्थिती वा गती सोडत नाही असेच आहे ना?”
“तू काहीसा बरोबर आहेस वेताळा. पण सं’वेग’ म्हणजे ‘वेग’वान वस्तूची वेगातच राहायची प्रवृत्ती होय. त्यामुळे स्थिर वस्तूला संवेग नसतो कारण वेग(velocity) नसतो. शिवाय जडत्त्वाला दिशा नसते, ती अदीश(scalar) राशी आहे. पण संवेग म्हणजे वेग आणि वस्तुमान यांचा गुणाकार असल्या कारणाने संवेग ही सदीश(vector) राशी आहे. दोन्हीमध्ये समान घटक म्हणजे दोन्हीला वस्तुमान(mass) हे कारक असते. जडत्वामध्ये केवळ वस्तुमान हे कारक असल्याने जडत्त्व अदीश होते पण संवेगात वस्तुमान आणि वेग असल्याने आणि वेग हा सदीशगोत्री असल्याने संवेगही सदीश होतो.”
“पण राजा हे संवेगाचं काही लक्षात येत नाही बघ. नक्की काय समजायचं? हे थोडं थोडं ज्याला आपण ‘जोर’ म्हणतो त्या सारखं आहे का?”
“होय वेताळा तू अचूक ताडलंस..संवेग म्हणजे लावलेला जोर. एखादा मत्त गजराज जेव्हा पूर्ण वेगाने दौडत येऊन झाडाला धडक देतो तेव्हा काय होतं? झाड लेचंपेचं असलं तर उन्मळून पडतं. जर विशाल वृक्ष असेल तर एखादी फांदी तुटते. हे कसं होतं.
संवेग(momentum) म्हणजे वेग गुणिले वस्तुमान(velocity x mass).
गजराजाचं वस्तुमान असेल ५००० किलोग्राम. तो गजराज त्या झाडाच्या दिशेने १२ मी/सेकंद वेगाने धावत निघाला. तर त्याचा संवेग किंवा जोर झाला ५०००x१२=६०००० किग्रा.मी/सेकंद. आता त्या झाडाचं वस्तुमान आपण समजू १००० किलोग्राम. जर त्या जमिनीतून हा वृक्ष बाहेर पडायला काहीच अटकाव झाला नाही, हत्तीला पळताना जमिनीच्या तसेच हवेच्या घर्षणाचा सामना करावा लागला नाही तसेच जमीनही गुळगुळीत होती असे समजले तर ते झाड किती वेगाने जाईल?
संवेग अक्षय्यतेचा नियम असे सांगतो की कोणतेही तिसरे बळ (हवेचे व जिमिनीचे घर्षण व अन्य) कार्यरत नसेल तर विशिष्ट दर्शकाच्या दृष्टिकोनातून(frame of reference) पाहिल्यास तेथील एकूण संवेग कायम राहतो. आपल्या बाबतीत त्या उन्मत्त गजराजाने स्थिर वृक्षाला धडक दिली व तो गजराज शांत झाला. पण स्थिर असलेले झाड मात्र गडगळत पुढे गेले.
संवेगाच्या भाषेत संवेग अक्षय्यतेचा नियम (law of conservation of momentum) आपणास सांगतो की एकूण संवेग हा कायम स्थिरच राहणार. पळत आलेला गजराज नंतर स्थिर झाला, म्हणजे गजराजाचा नंतरचा संवेग शून्य झाला. इथे हे सुद्धा लक्षात येते की जोर लावणे या शब्दात नेहमीच वेग(velocity) अभिप्रेत असतो. गजराज कितीही महाकाय असले तरीही जर ते जागचे हललेच नाहीत तर जोर शून्य. असो. तो वृक्ष आधी स्थिर होता म्हणजे संवेग शून्य होता. पण नंतर मात्र जेव्हा तो वृक्ष गडगळत गेला तेव्हा त्याला संवेग प्राप्त झाला.
थोडक्यात
गजराजाचा आरंभीचा संवेग – वृक्षाचा नंतरचा संवेग = ०
किंवा गजराजाचा आरंभीचा संवेग = वृक्षाचा नंतरचा संवेग
५०००(गजराजाचे वस्तुमान)x (१२)गजराजाचा वेग = (१०००)वृक्षाचे वस्तुमान x (क्ष)वृक्षाचा वेग
थोडक्यात वृक्ष हा (५०००x १२/१०००) = ६० मी प्रति सेकंद किंवा २१६ किमी प्रति तास इतक्या प्रचंड वेगाने गडगळत जाईल. वेताळा हे उदाहरण मी केवळ संवेग अक्षय्यता नियमाचे उदाहरण म्हणून सांगितले. असं प्रत्यक्षात होणं अशक्य आहे. आता तोफगोळ्यांचं सांगतो. (आकृती १)
तोफ आणि गोळा यांनाही हा संवेग अक्षय्यता नियम लागू पडतो. म्हणजेच
तोफेचा संवेग – गोळ्याचा संवेग = ०
तोफेचे वस्तुमान(mass) x तोफेचा वेग(velocity) = गोळ्याचे वस्तुमान x गोळ्याचा वेग
तोफगोळा किती लांब डागायचा हे तोफेच्या व गोळ्याच्या वस्तुमानाच्या पटीवर बरचसं अवलंबून असतं. समजा आपण एक १५०० किलोग्राम वजनाची तोफ घेतली आणि तिच्यामध्ये १० किलोचा तोफगोळा ठेवला. जेव्हा तोफेला बत्ती देण्यात आली तेव्हा तो गोळा १५०मी/सेकंद वेगाने गेला तर ती तोफ किती वेगाने मागे येईल?
१५०० (तोफेचे वस्तुमान)x- क्ष (तोफेचा मागे येण्याचा वेग) + १०(गोळ्याचे वस्तुमान)x १५०(गोळ्याचा वेग)=०
याठिकाणी तोफ ही गोळ्याच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेत मागे येत असल्याने ऋण चिन्ह दिले आहे.
तोफेचा मागे येण्याचा वेग (क्ष) = १०x १५०/१५०० = १मी/सेकंद
म्हणजेच तोफेचा मागे येण्याचा वेग गोळ्याच्या वेगापेक्षा कैकपटींनी कमी असतो.”
“पण विक्रमा हा तोफगोळा जेव्हा पडतो तेव्हा काय परिणाम होतो? किती बळ(force) प्रयुक्त होतं याचा तुला काहीच पत्ता लागलेला दिसत नाही? तो परिणाम सुद्धा मोजता येतो का? शिवाय तू विशिष्ट दर्शकाचा दृष्टिकोन असंही काहिसं म्हटलास. तू खूपच शब्दांच्या फैरी उडवतोस. पण आता मला वेळ नाही. मी चाललो. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
“वेताळाने उड्डाण केल्यावर विक्रम किती वेगाने मागे गेला?” तिथेच उलटे लटकलेल्या वाघुळाने दुसऱ्याला विचारले.
“संवेग अक्षय्यता नियम लाव. लगेच कळेल.” दुसऱ्याने हिंदोळे घेत शांतपणे उत्तर दिले.
©अनिकेत कवठेकर.