पदार्थांची हालचाल (Motion)..कधी शिस्तीत, एकसारखी(Uniform)..तर कधी सुस्त तर कधी सैराट (Non-uniform)

विक्रम राजाचं सैन्य म्हणजे एक अतिशय उत्तम, नावाजलेलं सैन्य. कुठंही ढिसाळपणा नाही, शिस्त, पराक्रम यात नाव ठेवायला जागा नाही. आजच त्याच्या सैन्याचं संचलन तो बघून आला होता. काय त्याच्या गणवेशांमधला एकसारखेपणा, चालण्यातला एकसारखेपणा वर्णावा महाराजा! सर्वांनी एकदाका पाऊल उचलले की एक मोठी लाटच गेल्यासारखे वाटावे. चालणे-हालणे-फिरणे सर्वांचे एका गतीने, एका लयीने अगदी वाटावं की सर्व सैन्याचे श्वासही एकदमच चालताहेत की काय. हा चालण्यातला एकसमानपणा मग कुठल्याही परिस्थितीत कमी होणार नाही. मग समोर शत्रूचं सैन्य असो, तणावकमी करण्यासाठी केलेला मार्च असो काहीही असो.. विक्रम बेहद्द खुश होता त्याच्या सैन्यावर.. आठवणीनेही त्याचा ऊर अभिमानाने भरून आला होता आज.. अमावस्येच्या रात्रीही त्याचा चेहरा मात्र अतिशय खुललेला, उजळलेला, प्रकाशमान होता..

“काय भलतीच खुश दिसतेय महाराजांची स्वारी.. सैन्ये असतातच रे अशी शिस्तबद्ध.. सैन्याच्या वागण्यावरून देशाच्या पराक्रमाचा, शिस्तीचा, वकुबाचा, संस्कृतीचा परिचय होतो.. त्याचं वागणं, बोलणं, हालचाली, कामं सगळं एकसमान, नियमित, शिस्तबद्ध.. पण विक्रमा सैन्याला जे नियमितपणाचे नियम तुम्ही लावता ते पदार्थांना कारे लावता? त्यांनी का बरं असं नियमित वागावं? ते तसं वागतात तरी का? पदार्थांच्या बाबतीत कशाला एकसमान हालचाल (Uniform Motion) आणि असमान हालचाल (Non-uniform or Accelerated Motion) वगैरे गोष्टींचा कीस पाडता? ”

“त्याचं काय आहे वेताळा, पदार्थविज्ञानाचा किंवा ज्याला आपण फिजिक्स म्हणतो त्याचा अभ्यास करताना आपल्याला समोर काय दिसतं तर एखादी वस्तू एका जागी होती आता दुसरीकडे गेली किंवा अजूनही जात आहे. तिला तिथून हालवायचे काम कोणीतरी केलं, ते बळ लावणारा कोणीतरी प्राणी किंवा माणूस होता किंवा घर्षणगुरुत्वाकर्षणा सारखं अप्रत्यक्ष बळ होतं. पण बघ यात ‘ती वस्तू आधी(earlier) इथे(Here) होती आणि नंतर(Later) तिथे(There) गेली’ यात त्या हालचाल करणाऱ्या वस्तूशिवाय इतर दोन द्रव्ये आली. आधी – नंतर च्या रूपात काळ(Time) आणि इथे-तिथे च्या रूपात दिक किंवा स्थल (Space)”

“हां हां तू काहीतरी म्हणत होतास की हे दोन अंपायर सारखे असतात..स्वत: काही ढकलाढकली करत नाहीत पण आपल्याला मात्र अंदाज बांधायला किंवा मोजमापे करायला मदत करतात..”

“हो हो अगदी बरोबर बोललास वेताळा..स्थल आणि काल हे आजकाल जसे ड्रोन सतत फिरत असतात..टेहळणी करत असतात किंवा पृथ्वीबाहेरच्या अवकाशात सॅटेलाइट जसे अव्याहत घिरट्या घालत असतात तसेच हे फिरत असतात. आपल्या आजूबाजूची जागा किंवा परिसर आणि काळ यांवर कोणत्याही लहानसहान हालचालींचा परिणाम होत नाही..पण या वस्तूच्या हालचालीबरोबर ती स्पेस आणि टाईमच्या बाबतीत किती सरकली यावरून हालचालींचा काही अंदाज येतो..”

“उदाहरण देरे राजा..”

“हे बघ, समजण्यासाठी हां फक्त एक उदाहरण, की परीक्षेत किती मार्क पडतात यावरून राजूचे मार्क पाहिले अगदी पहिल्या चाचणीपासून शेवटच्या घटकचाचणी पर्यंत..समजा राजू नेहमी अभ्यास करतो किंवा त्याची आई त्याचा नेहमी अभ्यास घेते..पाहिल्या परीक्षेला त्याला A+ मिळाले, दुसरीला A+ मिळाले, सहामाहीला A+ मिळाले अगदी शेवटच्या घटक चाचणीपर्यंत A+ मिळाले..तर वार्षिकला त्याला किती मार्क पडतील? तर त्याचा मार्कांचा प्रवास पाहता वार्षिकलाही त्याला A+ मिळायचीच जास्त शक्यता हा झाला राजूचा एकसमान पद्धतीचा किंवा Uniform प्रवास..पण त्याच जागी गजू आहे..तो जरा मूडी आहे..कधी अभ्यास करतो A+ पडतात, कधी नाटकात काम करतो मग अभ्यासाकडे दुर्लक्ष होतं..म्हणजे मग एकदम B वर येतो..मग अचानक सहामाहीला अभ्यास करतो आणि A ग्रेड आणतो..एकंदरच कलंदर वृत्ती..त्यामुळे शेवटच्या परीक्षेला त्याला किती मार्क पडतील हे सांगणच अवघड..हा झाला Non-uniform प्रवास..”

“अरे पण राजा ही राजूसारखी मुलं असतात किती वर्गात? एका हाताच्या बोटांवर मोजण्यासारखी..गजूसारखीच तर बाकीची असतात..थोडीशी मूडी, खेळ आवडणारी, दंगा-बडबड करणारी.कोणी ढकललं तर अभ्यास करणार, मार्क पाडणार..नाहीतर सारं लक्ष खेळात किंवा टिवल्या बावल्या करण्यात..पण मग वस्तूंच्या प्रवासाला मार्क द्यायला कोणते गुरुजी येतात..त्यांना कोणत्या परीक्षेला बसवता?”

“हे बघ मार्क देण्याची हौस माणसांना असते. पण फिजिक्सच्या बाबतीत बोलशील तर काळ आणि स्थळ हे दोन गुरुजी मार्क देत नाहीत तर मार्क करतात. म्हणजे क्रिकेटच्या मैदानात बघ एक बॉर्डर असते की त्या पलिकडे टप्पा न पडता बॉल गेला तर तो सिक्स मग तो प्रेक्षकाने झेलला तरी आउट होत नाही. हे कशामुळे ठरवता येतं तर या क्रिकेटच्या मैदानाच्या बाउंडरीमुळे..नाहीतर खेळाला काही नियमच घालता येणार नाही..सिक्सर का कॅच यावर दोन टिम भांडत बसतील. पण तसं होत नाही कारण आपण ती जागा मार्क केली बाउंडरी घालून. हे झालं स्पेसची बाउंडरी किंवा सीमारेषा..दुसरी म्हणजे काळाची सीमारेषा..समजा रनिंग रेस चाललीय..पहिला जो तिथे पोहोचेल तो विनर..म्हणजे पहिल्याने घेतलेला वेळ ही आपोआप काळाची सीमारेषा किंवा बाउंडरी झाली..नाहीतर सगळे आपल्या आपल्यावेगाने पळत राहतील आणि रेस कधी संपायचीच नाही..अशारितीने स्थळ आणि काळ हे सतत आपल्याला ती वस्तू किती सरकतीये याची माहिती देत राहतात..हीच माहिती त्या वस्तूची हालचाल एकसमान आहे की असमान किंवा बदलणारी आहे याची माहिती देतात..”

“ते कसं काय?”

“हे बघ वेताळा, राजूने अतिशय मोठ्या मैदाना एवढ्या सपाट, गुळगुळीत टेबलावर एक अतिशय गुळगुळीत बॉल ठेवला आणि त्याला जोरात बॅट मारली. असं समज की त्या गुळगुळीत टेबलावर अंतरा अंतरावर मार्किंग केलं होतं आणि तिथं घड्याळं ठेवली होती..ती सर्व घड्याळं सारखाच वेळ दाखवत होती..शिवाय बॉल आला की लगेच त्या घड्याळातल्या कॅमेऱ्यातून फोटो निघेल असंही सेटिंग केलं होतं. राजूने जिथून बॉल मारला ती जागा शून्य अशी मार्क केली होती. बॉल मारल्यावर जिथं जिथं गेला तिथे तिथे असलेल्या घड्याळात वेळ नोंदवली गेली आणि घड्याळाबरोबर असलेल्या कॅमेऱ्याने त्या क्षणाला फोटोही काढला पुरावा म्हणून. राजूने दोन शॉट मारले. एकदा बॉल घरंगळत जाईल अशा रितीने शॉट मारला व दुसऱ्या वेळी तो बॉल उडून पुढे जाइल व नंतर खाली पडून घरंगळत जाईल अशा रितीने मारला..त्या दोन्ही प्रयोगांची निरीक्षणे ग्राफ च्या स्वरूपात मांडली.. ”

“हां तू काय ते म्हणाला होतास की संख्याचे अंतरंग दाखवणाऱ्या रांगोळ्या की काय ते..”

“हे बघ वेताळा, वर दिलेल्या आलेखात राजूने सरपटत मारलेला बॉल पिवळा दाखवलाय आणि उडवून मारलेला बॉल गुलाबी रंगाने दाखवलाय. पिवळा बॉल पहिल्या दोन मिनिटात ५ मीटर गेला, अजून दोन मिनिटांनी १० मीटर अंतरावर गेला होता, अजून दोन मिनिटांत १५ मीटर असा गेला. म्हणजे दर दोन मिनिटांना तो बॉल ५ मीटर जात होता. त्याची ही हालचाल त्याने कापलेल्या अंतराच्या(Distance) आणि त्यासाठी लागलेल्या वेळाच्या (Time) संदर्भात एकसमान (Uniform) आहे. ती आपल्याला y = mx अशा एकरेषीय समीकरणाने दाखवता येते..

पण आता गुलाबी बॉल पहा. पाहिल्या दोन मिनिटात ९ मीटर, नंतरच्या दोन मिनिटांत १४ मीटर, नंतर च्या दोन मिनिटांत १७ मीटर आणि शेवटच्या दोन मिनिटांत १८ मीटर अंतरावर पहोचला होता. म्हणजे सुरुवातीच्या दोन मिनिटात हालचाल अतिशय जोरात होती ९ मीटर गेला, नंतरच्या दोन मिनिटांत ५ मीटर, नंतरच्या २ मिनिटांत ३ मीटर आणि शेवटच्या दोन मिनिटांत तर १मीटरच गेला. ९,५,३,१ अशी त्याची हालचाल बदलत गेली. म्हणजे गुलाबी बॉल असमान(Non-uniform) हालचाल करत होता..त्यासाठी मात्र वर्गसमीकरणाची गरज लागेल..”

“असमान हालचाल म्हणजेच त्याच्यावर अनेक बळे वेगवेगळ्या दिशांनी काम करत आहेत हो ना..ते तर मला माहिती आहे. दर मिनिटाला होणारी हालचाल मोजली तर ती झाली अदिश(scalar) गती(speed). पण दर मिनिटाला होणारी हालचाल उजवीकडून डावीकडे अशी दिशेसहित दाखवली तर तो झाला सदिश(vector) वेग(velocity). मग वेग कमी होतोय असं म्हटलं तर मंदन(deceleration) आणि वेग वाढतोय म्हटलं तर झालं त्वरण(acceleration)..माहितीये रे मला सगळं..पण तुझ्या प्रयोगातले बॉल जमिनीवरच पुन्हा पडतात..पण भारताने पाठवलेले उपग्रह अवकाशात कसे पोहोचतात? का त्यांना सतत धक्का द्यायला लोकं पण बरोबर जातात? कसं शक्य होतं रे हेसारं? तुला माहिती आहे का रे? का उगीचच थोडक्या ज्ञानावर बाता मारतोस? ते जाऊदे..माझीही पृथ्वीबाहेरच्या वेताळलोकात जायची वेळ झाली..मी येतो..पुन्हा येताना काहीतरी अभ्यास करून येत जा रे..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

वेताळाने उपग्रहाची भाषा केली रे केली की अवकाशातले ते भारताचे उपग्रह लगेचच अलर्ट झाले..मित्र आणि शत्रु राष्ट्रांच्या घिरट्या घालणाऱ्या उपग्रहांच्या- विमानांच्या -ड्रोनच्या-जहाजांच्या- पाणबुड्यांच्या – मिसाइल्सच्या-बंदुकांच्या-सैनिकांच्या-नागरिकांच्या-मुंग्यांच्या हालचालींवर बारिक लक्ष ठेवून असणाऱ्या या अंतरिक्षातल्या सीमारक्षकांच्या आठवणीने सर्वच प्रजाजनांचा ऊर अभिमानाने भरून आला..आता जमिन-पाणी-आकाशच काय पण पृथ्वीबाहेरूनही भारताकडे वाकड्या नजरेने पाहणाऱ्यांवर जरब बसवण्याचं ‘मिशन शक्ती’ यशस्वी झालेलं होतं..भारताचे चौकिदार आता अंतराळातही सक्रीय झाले होते..

(क्रमश:)

यासारख्या गोष्टी: ८वी पर्यंतचं Physics
मुखपृष्ठ : मुखपृष्ठ
गोष्टींची पूर्ण यादी: गोष्टींची पूर्ण यादी (Complete Story List)

Advertisements

बाहेरील शक्तींचे दास, चलबिचल करणारे सदीश आणि स्वयंभू, स्थिर अदीश (Dependent transient vectors and independent stable scalars)

फितुरी ही प्रत्येकच काळातील सम्राटांना, चक्रवर्तींना सतावणारी समस्या. आर्य चाणक्यानेच म्हणून ठेवलंय की कोणत्याही राज्याच्या सीमा ज्या राज्यांशी जुळलेल्या असतात ते राजे सहसा मित्रत्व पाळणारे राजे नसतातच. ते अरिप्रकृती किंवा शत्रुत्व बाळगणारे राजे असतात. अशा राजांनी त्यांचे हेर सुद्धा मोठ्या प्रमाणात पसरवलेले असतात. कधी कधी तर अशी घराणी च्या घराणीच हेरगिरीच्या कामात पिढ्यान् पिढ्या कार्यरत असतात. यांच्या निष्ठा कायमच परमुलुखाशी वाहिलेल्या. बाहेर वारं जसं वाहणार तसे हे हेर कामाची दिशा बदलत राहणार..यांच्या उलट देशाशी स्वामिनिष्ठ असणारे निष्ठावंत, राज्याच्या मूल्यांमध्ये, तत्वांमध्ये अविचल श्रद्धा असणारे लोक..बाहेरून फार विद्वान, चतुर वाटणारही नाहीत पण शत्रूशी दोन हात करण्याची वेळ आल्यावर तळहातावर शिर घेऊन ते राजासमोरही ठेवायला मागे पुढे पाहणार नाहीत..विक्रम राजा असा मननशील अवस्थेत असतानाच वेताळ त्याच्या पाठीवर आरुढ झाला.

“राजा फितुरीने ग्रासलायस काय? आज हे काय चाललंय? तुझे मन स्थिर नाही का? तुझे सिंहासन डळमळीत झालंय की काय?”

“नाही वेताळा तसं काहीही नाही..माझ्या राज्यात राज्याच्या चिरंतन मूल्यांवर विश्वास ठेवणारे प्रजाजन आहेत तोपर्यंत आणि मी जोपर्यंत त्या मूल्यांना धरून चालतोय तोपर्यंत कसलीही काळजी नाही..”

“मग विक्रमा, पदार्थविज्ञानात आहेत कारे असे परकीय बळांशी निष्ठावान राहणारे फितूर? शिवाय त्याचाच दुसरा भाग म्हणजे पदार्थविज्ञानातही स्वराज्य, स्वसंस्कृतीशी घट्टपणे जोडलेले निष्ठावंतही आहेत काय?”

वस्तुमान(Mass)

“होय वेताळा होय..आहेत तसे दोन प्रकारचे लोक..नेहमीच्या आकाराच्या वस्तू आपण पाहतो त्या वस्तू म्हणजे त्यांच्या लाखो – करोडो अतिसूक्ष्म अणुरेणूंनी बांधून काढलेल्या अतिभव्य इमारतीच. या सूक्ष्मातिसूक्ष्म अणुरेणूंना स्वत:चे सूक्ष्म वस्तुमान असते. स्थयुरूपात असतील तर रचना अधिक घट्ट, नियमित, शिस्तबद्ध, द्रव असतील तर थोडा सैलसरपणा, प्रवाहीपणा आणि वायरूप म्हणजे आनंदी आनंद, स्वच्छंदीपणा..पण तरीही त्यांच्या अणूंचे वस्तुमान बदलत नाही..”

5f637-vaisheshik_molecularforces

“बदलत नाही म्हणजे काय?”

“हे बघ वेताळा सोन्याचं उदाहरण घेऊ..सोन्यापासून जाड दागिने होतात..नाजुक तारा निघतात..वर्खसुद्धा बनवतात..पण सोन्याच्या अणुचे वस्तुमान हे तेच राहते..हेच चांदीच्या बाबतीत..तेच शिशाच्या बाबतीत..मग सोनं कसंही ओढलत..पातळ पत्रा केलात, तारा काढल्या तरी काहीही फरक पडत नाहीत..हो सोन्याची तार काढून दोन समान तुकडे केलेत तर दोन्ही तुकड्यांची वस्तुमाने अर्धी होतील..हाच तो वस्तुमानाचा दिशाविरहीत किंवा अदिश(Scalar)पणा..बाहेरून तोडणारं बळ कोणत्याही दिशेत काम करत असलं तरीही वस्तुमान त्या दिशेत बदलत नाही.. ”

बाह्यबळ लावणारी द्रव्ये आणि दिक् द्रव्य(External Forces and Importance of direction)

“म्हणजे विक्रमा तुला असं म्हणायचंय की या दिशेनुसार बदलणारे सुद्धा काही आहेत?”

“होय वेताळा..बाहेरून काम करणाऱ्या बळाच्या किंवा अनेक बळांच्या बरहुकुम दिशा बदलणाऱ्या अनेक राशी पदार्थविज्ञानात आहेत..विस्थापन, वेग, त्वरण/मंदन, धक्का आणि बळ/वजन ह्या त्या सदीश राशी आहेत..या राशी ओढणाऱ्या/ढकलणाऱ्या, घासणाऱ्या, अडवणाऱ्या, गोलगोल फिरवणाऱ्या अशा अनेक प्रकारच्या बळांच्या अंमलाखाली असतात..त्यांनी म्हणेल तीच पूर्व दिशा असे वागतात..”

3394b-externalforceandghosts

“अरे विक्रमा, तू आधी म्हणाला होतास की ही दिशा किंवा दिक् द्रव्य तर निमित्त मात्रच असते..नुसतीच नोंद घ्यायच्या कामात सहभागी असते व आता म्हणतोस की दिशेवर ह्या गोष्टी अवलंबून असतात..म्हणजे पूर्वेला विस्थापन अधिक, पश्चिमेला कमी असं?”

“बळी तो काम पिळी, Might is right, यथा राजा तथा प्रजा अशा अनेक म्हणी वैज्ञानिक दृष्टया सुद्धा योग्य आहेत. प्रशस्तपाद म्हणतात – स्थायू, द्रव, वायू, तेज व मन हे हालचाल करत असतात, त्यांना जाणीव स्वरूप असते, ते जवळ येऊ शकतात व लांब जाऊ शकतात आणि ते बलप्रयोग करून गती निर्माण करू शकतात.*

म्हणजेच ही पाच द्रव्ये ढकलाढकली, हाणामारी, ओढाओढी करणाऱ्या दांडगट मुलांसारखे वागतात. म्हणजेच वैज्ञानिक भाषेत दुसऱ्यांवर बाह्यबळ(external force) लावतात. वेताळा, कणाद ‘कार्यविरोधीकर्म’ नावाच्या वैशेषिक सूत्र १-१-१४ मध्ये वेगसंस्काराविषयी म्हणतात – एखादी विशिष्ठ हालचाल ही वेगसंस्कारा (Mechanical Force) मुळेच होते.**”

“ते कळलं, पण दिशेचं काय?”

“मग त्याच साखळीत कणाद म्हणतात – झालेली हालचाल(कर्म) ही वेगसंस्काराच्या (Mechanical Force) प्रमाणातच होते आणि ती हालचाल वेग संस्काराच्या दिशेतच होते.***”

“अरे पण ही हालचाल तर बळामुळे झाली ना? मग दिक् द्रव्यावर का दोष घालताय?”

“अरे वेताळा, गुन्हेगाराच्या ठशांवरून जसे गुन्हेगाराचा माग काढतात तसाच हा प्रकार आहे. बळाच्याच दिशेत हालचाल होत असल्याने या दिशेवरून बळ कुठल्या दिशेत ढकलत होतं हे कळतं..दिक् द्रव्य हे सर्वत्र संचारी आहे, त्यामुळे बळाची दिशा कळते.”

“पण विक्रमा, बळे तर अनेक असतात ना? ढकलणारे बळ, रोखणारे बळ, घासणारे बळ..मग तेव्हा दिशा कोणती पकडायची?”

“अरे वेताळा, बळी तो कोन पिळी..जो सर्वात जास्त जोर लावतो, ज्याची ताकद इतरांच्या ताकदीवर भारी पडते त्याच्याच बलाच्या दिशेत विस्थापन होतो..हेच ते परिणामी बळ(resultant force)..याच्याच दिशेत वस्तूचे विस्थापन(displacement) होते म्हणजे वस्तू ढकलली, घासली, सरकली जाते..त्याच दिशेत वस्तूचा वेग असतो..”

“वेग असतो? तो कसा?”

“अरे वेताळा, जेव्हा बळ लावलेले असते तेव्हा वेगही त्या दिशेत प्राप्त होतो. सुरुवातीला तो सर्वात जास्त असतो. पण नंतर जिमिनीशी  होणारे घर्षण, हवेचे घर्षण हे सुदधा अडवतेच आणि वेग कमी करत जाते.. ”

वजन(Weight)

“पण विक्रमा, वस्तुमान आणि वजनाचं तुम्ही म्हणता तेव्हा वस्तुमानाला दिशेचा फरक पडत नाही म्हणता..मग वजनाला दिशा का असते? का पूर्वेला वजन जास्त, पश्चिमेला कमी असं थोडीच होतं?”

“अरे वेताळा, कोणत्याही वस्तूचं वजन किंवा पृथ्वीवरील वजन म्हणजे पृथ्वीने त्या वस्तूवर लावलेले बळ, बाकी काहीही नाही. पृथ्वी किंवा अन्य ग्रह सुद्धा अतिप्रचंड गुरुत्वबाने वस्तूंना ओढतात..हे ओढले जात असताना पृथ्वी त्यांना ९.८ मी/ सेकंद एवढे त्वरण(Acceleration) देते. वस्तूचे वस्तुमान जर १० किलोग्राम असेल तर तिच्यावर पृथ्वीने लावलेले बळ पुढील सूत्राने मिळते.

बळ(Force) = वस्तुमान(mass) x त्वरण(acceleration) हीच गोष्ट वजनाच्या बाबतीत लिहायची झाली तर

वजन(Weight ) =  वस्तुमान(mass) x गुरुत्वत्वरण(gravitational acceleration).

तर १० कि.ग्रा. वस्तुमानाचे वजन (Weight) = 10 x 9.8 = 98 Newton. आता  पृथ्वी सर्व वस्तूंना खालच्या दिशेन खेचत असल्याने दिशा सुद्धा खेचक बळाचीच. म्हणूनच वस्तुमान दिशाविरहीत पण वजन मात्र निश्चित दिशेतच खेचले जात असल्याने वजनाला परिमाण व दिशा दोन्हीही आहेत.  ”

“वस्तुमानाचं कळलं.. वस्तूचा मूलकण बदलणार नाही तोपर्यंत एकक वस्तुमान(mass /unit ) बदलणार नाही..पण अंतर(distance) आणि विस्थापन (displacement) यात का सदिश आणि अदिश ची भानगड काढलीये?”

अंतर आणि विस्थापन(Distance and Displacement)

“कसंय वेताळा.. केवळ अंतर म्हणजे दिक द्रव्यात काढलेले दोन बिंदू.. दिक द्रव्य हे स्वतः: काहीही करत नाही व त्यामुळे डोंगराच्या शिखरापासून पायथ्या पर्यंतच्या दोन बिंदूमध्ये अंतर हे कसही मोजलं तरी सारखं येणार.. कारण या मोजमापात दुसरं कोणीच सहभागी नाहीये.. म्हणून हे दिशाविरहित आहे.. scalar आहे.. पण जेव्हा याच अंतराच्या संदर्भात कोणत्या तरी बळाने एखाद्या वस्तूला कसं ढकललं याचा तपास करायची पाळी येते तेव्हा मग दिशा येते.. खालून वर ढकललं तर खूप जास्त शक्ती लागणार.. वरून खाली ढकललं तर कड्यावरून सोडून दिलं उतारावर की झालं काम..मग पृथ्वीचं गुरुत्वाकर्षण आहेच टपून बसलेलं..”

59359-gravitationalforce

“अरेच्चा म्हणजे ही दिशा त्या ढकलणाऱ्या बळाचा माग काढण्यासाठी आहे?”

“मग दुसरं काय? कार्य – कारण भाव(cause and effect) म्हणजेच काहीतरी ढकलणारं होतं म्हणूनच ती वस्तू ढकलली गेली.. नाहीतर कशाला उगीच या निर्जीव वस्तू फिरत राहतील.. ते ढकलणारं काय होतं याचा शोध घेत मग पदार्थ विज्ञानातल्या शास्त्रज्ञांनी ठरवलं की वस्तू डावीकडून उजवीकडे ढकलली गेली म्हणजे ढकलणारा डावीकडे असला पाहिजे.. त्याने डावीकडून उजवीकडे ढकलल्याने वस्तू डावीकडून उजवीकडे गेली..म्हणजे ‘विस्थापन कार्यकारी बलाच्या दिशेत होतंय'(displacement in direction of resultant force) हे आलं..थोडक्यात काय तर दोन बिंदूमध्ये तिसरं कोणी नसत..म्हणजेच वैशेषिकाच्या भाषेत दोन बिंदूंमध्ये केवळ दिक् द्रव्य खेळत असतं तेव्हा ते अंतर असतं.. त्याला दिशेने फरक पडत नाही..हेच अदिश किंवा scalar.. एखाद्या नाटकाच्या स्टेज सारखं हे अंतर अचल आहे.. पण या दिक द्रव्याच्या, अंतराच्या रंगपटावर इतर भूत द्रव्ये  म्हणजे स्थायू, द्रव, वायू, तेज आणि मन येऊन ढकलाढकली, हाणामारी, धावपळ, घासाघीस असे खेळ करू लागतात तेव्हा मग कोणी कोणाला कुठे ढकलले, किती ढकलले, किती वेगाने ढकलले अशी मोजमापे करावी लागतात.. मग तिथे एकाने दुसऱ्याला ढकलल्यावर तो दुसरा मूळ स्थानापासून किती लांब गेला हे झाले त्या दुसऱ्याचे झालेले विस्थापन(displacement).. पण हे विस्थापन त्याच्यावर लावलेल्या बळाने झालेय.. आणि ते बळ ढकलणाऱ्याने ज्या दिशेत ढकलले त्या दिशेत झालेय.. म्हणूनच या विस्थापनाला परिमाण (unit) आहे आणि दिशा(direction) आहे .. म्हणजेच विस्थापन हे सदिश(vector) आहे..मूळ स्थानापासून शेवटचे स्थान किती लांब आहे हे अंतर व ते शेवटचे स्थान मूळ स्थानाच्या कोणत्या दिशेला आहे यावरून विस्थापनाचे दिशायुक्त मोजमाप होते..म्हणून हे सदीश..vector”

गती आणि वेग(Speed and velocity)

“वस्तुमान आणि वजन, अंतर आणि विस्थापन यांचं कळलं.. पण वेग(velocity) आणि गती (speed ) असे एकाच अर्थाचे दोन शब्द का काढलेत? तेच तेच बोलल्यासारख वाटतं. पुन्हा त्यातही वेग सदीश आणि गती / चाल अदीश असं का?”

“वेताळा एखाद्या वस्तूने प्रत्येक क्षणाला कापलेले अंतर म्हणजे त्याची गती.. आणि त्याच कालावधीत प्रतिक्षण त्याने केलेले विस्थापन म्हणजे वेग.. असं समज की एक घोडा ५० किमी प्रतितास पळतो तर ती झाली त्या घोड्याची गती .. मग असं म्हणताना त्यात तो घोडा उतारावर पळतो की चढावर, पूर्वेला की पश्चिमेला, सरळ दिशेत की वर्तुळाकार हा काहीही विचार नसतो.. सर्वसाधारण पणे असे म्हणताना घोड्याची सरासरी गती(Average speed)  डोक्यात असते..”

“पण मग हा सदीश वेग लागतो कशाला तुम्हाला?”

“कसंय वेताळा, वास्तूचे विस्थापन जेव्हा मोजले जाते तेव्हा आपसूकच वेगही मोजला जातो. एक घोडा सरळ रस्त्याने १ तासात ४० किमी गेला. तर त्याचे सुरुवातीच्या स्थानापासून शेवटच्या स्थानापर्यंतचे विस्थापन झाले ४० किमी. त्याची तेव्हा पर्यंतची गती झाली ४० किमी प्रतितास. त्याचा तेव्हापर्यंतचा वेग झाला आरंभ स्थानापासून अंतिम स्थानाकडे ४० किमी प्रतितास. पण पुढच्याच तासात तो घोडा पुन्हा पहिल्या ठिकाणी पोहोचला तर त्याने त्या दोन तासात किती अंतर कापले? आणि त्याच काळात त्याचे विस्थापन किती झाले?

“सोप्पय.. २ तासात ८० किमी अंतर व तेवढेच विस्थापन..”

“अंतर बरोबर आहे पण तो घोडा मूळ जागी आला २ तासांनी म्हणजे त्याचे विस्थापन ० झाले.. मग २ तासातली त्याची गती पुन्हा ४० किमी प्रतितास झाली पण वेग मात्र ० झाला कारण तो २ तासात जिथून निघाला तिथेच परत आला..”

“अरे विक्रमा काय अर्थ आहे या प्रकाराला? एवढा तो घोडा राबला तरीही विस्थापन, वेग सगळं पुन्हा शून्यच, बिचाऱ्याचे २ तासाचे कष्ट वायाच गेले. त्या घोड्याला बिचाऱ्याला हे कळलं तर कसं वाटेल? मी म्हणतो,कशाला हव्यात या दोन राशी ? उपयोग काय?”

अदिशाचे व सदिशाचे उपयोग(Where do scalars and vectors help us)

“गती ही जी आहे ती सहसा सरासरी(average) अर्थाने वापरली जाते. त्यात एखाद्या वस्तूच्या चालीचा सरासरी अर्थाने विचार असतो. म्हणजे चित्ता हा सर्वात चपळ प्राणी आहे तो १०० किमी प्रतितास या या गतीने जातो.. किंवा एखाद्या संथ माणसाला आपण त्याच्या कामाची गती वाढवायला सांगतो तेव्हा दर क्षणाला अधिक काम कर असे म्हणतो..क्रिकेट मध्ये संथ गती गोलंदाज, मध्यम गती व द्रुत गती गोलंदाज असतात. किंवा उपनगरी रेल्वे गाड्या मध्ये संथ गती, द्रुत गती हे सुद्धा सरासरीने लवकर पोहोचणारी व सावकाश पोहोचणारी असा अर्थ असतो..”

“विक्रमा त्यांच्यासारखा तू पण रुळावरून उतरायला लागलास बरका.. ”

“तर गती हा असा दिशाविरहित मापदंड आहे.. तो काहीसा सांख्यिकी(statistics) अर्थानं आलेला आहे. म्हणजे चित्ता १०० किमी प्रतितास गतीने जातो हे म्हणताना कोणताही विशिष्ट चित्ता समोर नसतो.. सर्वसाधारण सर्वच चित्त्यांविषयी हे विधान असते .. त्यामुळे त्यात दिशा नसते. पण जर हाच चित्ता एखाद्या हरणाच्या मागे पळतोय..सुरुवातीला तो दबा धरून ५ किमी प्रतितास वेगाने हरणाला न कळत पण त्याच्याच मागे जाऊ लागला.. हरणाला जसे हे कळलं तेव्हा त्याने शिंग उंचावून अंदाज घेतला व चित्ता वासावर आहे हे कळताच त्याने ३०-३५ किमी प्रतितास वेगाने धूम ठोकली.. चित्ता कसला बधतोय.. तो ५० किमी वेगाने मागे येऊ लागला.. हरीण पण चांगलेच मजबूत होते, उमदे होते, स्प्रिंगबॉक जातीचे..त्याने सुद्धा मग मोठमोठ्या उड्या घेत ६५ ते ७५ किमी वेग घेतला.. चित्त्यानेही मग ८०-९० किमी वेग घेतला, तो अगदी आता हरणाला पकडणार इतक्यात.. असं आपण बोलत असतो तेव्हा आपण वेगाबद्दल बोलत असतो.. त्यात तेव्हाची गती व दिशा दोन्हीचा अंदाज घेत असतो .. तिथे सदिश महत्वाचे असते .. कारण चित्ता हरणाच्याच दिशेने पळत असतो. कारण चित्त्याने हरणाला पकडले की नाही हे जाणून घेण्याची आपल्याला उत्कंठा असते.  विशिष्ट परिस्थितीत एखाद्या विशिष्ट वस्तूचा विशिष्ट वेळेत कसा प्रवास कसा चालू आहे हे समजायला वेग या सदिश राशीचा फार उपयोग होतो..”

“पण मग विक्रमा, तू जे म्हणालास की सदिशाचा विचार विशिष्ट वस्तूची वाटचाल पाहताना होतो.. पण या अभ्यासातून नेमकं काय हाती लागतं?”

f80c5-projectile_distance

“सदिशाचा विचार करत विस्थापन, वेग, त्वरण – मंदन, संवेग, धक्का असं करत शेवटी त्या वस्तूला ढकलणारं बळ किंवा अनेक बळे कोणती ते हाती लागतं.. एकदा हे बळ किती लागलं आणि कोणत्या दिशेत लागलं याचा अंदाज आला की मग सर्वच कळतं.. म्हणजे आपल्या क्रिकेटच्या भाषेत ७० किमी प्रतितास वेगाने येणाऱ्या १५६ ग्रॅम वस्तुमानाच्या सीम बॉल ला १.५ किलो वस्तुमानाच्या बॅट ने क्षितिज समांतर पातळीशी ४० अंशाच्या कोनात टोलवले तेव्हा तो बॉल १२७ मीटर प्रतिसेकंद वेगाने परत जाताना ३३० मीटर उंचीवर गेला व बॅटपासून १२० मीटर अंतरावर पडला. असे सचिन ने ट्रेंट ब्रिज ला कॅडीच ला मारलेल्या लंबुळक्या षट्काराचे वर्णन करावे लागेल. पण अशाच गणितातून मग किल्ल्याची तटबंदी फोडायला गोळा किती वजनाचा हवा व त्यावर किती बळ लावायला हवे अशी गणिते सोडवली जाऊ शकतात. मग तेवढे बळ लावायला तोफेचे वस्तुमान आणि कोणते इंधन लागेल ह्याचा अंदाज बांधता येतो. बळाचा वापर जिथे जिथे होतो तिथे सर्वत्र अशी गणिते वेगवेगळ्या संदर्भात लावून ते लावायची तंत्रज्ञाने विकसित झाली. गणितामुळे, सूत्रामुळे एकंदर विचाराला निश्चितता येते व प्रयोग सफल होण्याची शक्यता वाढते.”

“विक्रमा असे प्रयोगाबद्दल बोलतोस पण एखाद्याला पृथ्वीच्या गरुत्वाकर्षणाला भेदायचं असेल, पुन्हा पृथ्वीवर न येता मारुतीराया प्रमाणे सूर्याकडे उड्डाण करायचं असेल तर त्याला किती बळ लागेल, काय गणित लिहावं लागेल, काही कल्पना आहे का तुला? तसं केल्यावर मग तो फिरत फिरत पृथ्वीबाहेर कसा जाईल याचा काही प्रयोग केला आहे का तुम्ही? पृथ्वीबाहेर जाताना लागणारा मुक्तीचा वेग (escape velocity) किती असेल याची काही निश्चित माहिती आहे का तुला? म्हणजे तुम्हा सामान्य य:कश्चित माणसांनाच याची गरज पडते..आमच्यासारखे वेताळ मनात येईल तेव्हा जातात.. पण असो .. आता वेळ झाली. मला हे प्रेत परत झाडावर टाकायला हवे.. पुन्हा येतो विक्रमा.. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

हे ऐकत इतका वेळ नि:शब्द चित्रासारखे झालेली सृष्टी पुन्हा गतिमान झाली. आपल्या बद्दल बोललं गेल्याने घोडे चौखूर उधळले व सारथ्याला लगाम घालता घालता घाम फुटला. पण आपण लगाम घालतो म्हणजे काहीतरी बळच लावत असणार हा अंदाज त्याला आला. “लगाम मागे ओढला तरी घोडे पुढेच जातात, मग बळाच्या दिशेत कुठे विस्थापन होतंय?” असं तो स्वत:शीच पुटपुटला. तेव्हा एक घोडा दुसऱ्याला म्हणाला “अरे या सारथ्याला त्याने लावलेले बळ आणि कार्यकारी बळ यातला फरकच कळला नाही…खी:खी:खी:”

(क्रमश:)

मुखपृष्ठ: मुखपृष्ठ
विषय सूची: विषय सूची (Topic Index)

Continue reading “बाहेरील शक्तींचे दास, चलबिचल करणारे सदीश आणि स्वयंभू, स्थिर अदीश (Dependent transient vectors and independent stable scalars)”

संवेग (जोर) आणि संवेग अक्षय्यता (Law of conservation of momentum)

विक्रम आज जरा खुशीतच होता. गोष्टच तशी झाली होती. त्याच्या सैन्यासाठी आज त्याने अतिशय उत्तम अशा तोफा निवडल्या होत्या. असाच तो भरभर चालत असता मध्येच कधीतरी त्याच्या पाठीवर वेताळाचं धूड धप्पकन येउन बसलं तेव्हा कुठे त्याला अमावस्येचं, वेताळाचं, रात्रीचं आणि प्रश्नोत्तरांचं भान आलं.

“ गप्प का झालास राजा? आणि तू तुझ्या सैन्यासाठी तोफा निवडल्यास हे ही मला समजलं. बर मला एक सांग राजा, या तोफांमधून तुम्ही वेगाने तोफगोळा डागता तेव्हा ती तोफही थोडी मागे येते, थोडी आगही दिसते, तर मग ती तोफ गोळ्यासारखी मागे का फरफटत येत नाही?”

 

“वेताळा, युद्धासाठी वापरल्या जाणाऱ्या तोफांमध्ये अजून एक अदृश्य पण अतिपरिचित भूत मदतीला धावून येतं. त्याचं नाव संवेग(momentum) किंवा एकरेषीय संवेग (linear momentum). संवेग म्हणजे कोणत्याही गतिमान वस्तूची गतीमध्ये राहण्याची प्रवृत्ती. न्यूटनच्या गतीनियमांनुसार संवेग परिवर्तन हे बलाच्या(force) दिशेतच होते म्हणूनच संवेग ही सदीशगोत्री (vector) राशी होय.”
“राजा, हा संवेग म्हणजे काहिसा जडत्वा सारखा प्रकार वाटतो. जडत्त्व(inertia) म्हणजे पण वस्तू स्वत:ची स्थिती वा गती सोडत नाही असेच आहे ना?”
“तू काहीसा बरोबर आहेस वेताळा. पण सं’वेग’ म्हणजे ‘वेग’वान वस्तूची वेगातच राहायची प्रवृत्ती होय. त्यामुळे स्थिर वस्तूला संवेग नसतो कारण वेग(velocity) नसतो. शिवाय जडत्त्वाला दिशा नसते, ती अदीश(scalar) राशी आहे. पण संवेग म्हणजे वेग आणि वस्तुमान यांचा गुणाकार असल्या कारणाने संवेग ही सदीश(vector) राशी आहे. दोन्हीमध्ये समान घटक म्हणजे दोन्हीला वस्तुमान(mass) हे कारक असते. जडत्वामध्ये केवळ वस्तुमान हे कारक असल्याने जडत्त्व अदीश होते पण संवेगात वस्तुमान आणि वेग असल्याने आणि वेग हा सदीशगोत्री असल्याने संवेगही सदीश होतो.”
“पण राजा हे संवेगाचं काही लक्षात येत नाही बघ. नक्की काय समजायचं? हे थोडं थोडं ज्याला आपण ‘जोर’ म्हणतो त्या सारखं आहे का?”
“होय वेताळा तू अचूक ताडलंस..संवेग म्हणजे लावलेला जोर. एखादा मत्त गजराज जेव्हा पूर्ण वेगाने दौडत येऊन झाडाला धडक देतो तेव्हा काय होतं? झाड लेचंपेचं असलं तर उन्मळून पडतं. जर विशाल वृक्ष असेल तर एखादी फांदी तुटते. हे कसं होतं.
संवेग(momentum) म्हणजे वेग गुणिले वस्तुमान(velocity x mass).
गजराजाचं वस्तुमान असेल ५००० किलोग्राम. तो गजराज त्या झाडाच्या दिशेने १२ मी/सेकंद वेगाने धावत निघाला. तर त्याचा संवेग किंवा जोर झाला ५०००x१२=६०००० किग्रा.मी/सेकंद. आता त्या झाडाचं वस्तुमान आपण समजू १००० किलोग्राम. जर त्या जमिनीतून हा वृक्ष बाहेर पडायला काहीच अटकाव झाला नाही, हत्तीला पळताना जमिनीच्या तसेच हवेच्या घर्षणाचा सामना करावा लागला नाही तसेच जमीनही गुळगुळीत होती असे समजले तर ते झाड किती वेगाने जाईल?
संवेग अक्षय्यतेचा नियम असे सांगतो की कोणतेही तिसरे बळ (हवेचे व जिमिनीचे घर्षण व अन्य) कार्यरत नसेल तर विशिष्ट दर्शकाच्या दृष्टिकोनातून(frame of reference) पाहिल्यास तेथील एकूण संवेग कायम राहतो. आपल्या बाबतीत त्या उन्मत्त गजराजाने स्थिर वृक्षाला धडक दिली व तो गजराज शांत झाला. पण स्थिर असलेले झाड मात्र गडगळत पुढे गेले.
संवेगाच्या भाषेत संवेग अक्षय्यतेचा नियम (law of conservation of momentum) आपणास सांगतो की एकूण संवेग हा कायम स्थिरच राहणार. पळत आलेला गजराज नंतर स्थिर झाला, म्हणजे गजराजाचा नंतरचा संवेग शून्य झाला. इथे हे सुद्धा लक्षात येते की जोर लावणे या शब्दात नेहमीच वेग(velocity) अभिप्रेत असतो. गजराज कितीही महाकाय असले तरीही जर ते जागचे हललेच नाहीत तर जोर शून्य. असो. तो वृक्ष आधी स्थिर होता म्हणजे संवेग शून्य होता. पण नंतर मात्र जेव्हा तो वृक्ष गडगळत गेला तेव्हा त्याला संवेग प्राप्त झाला.
थोडक्यात
गजराजाचा आरंभीचा संवेग – वृक्षाचा नंतरचा संवेग = ०
किंवा गजराजाचा आरंभीचा संवेग = वृक्षाचा नंतरचा संवेग
५०००(गजराजाचे वस्तुमान)x (१२)गजराजाचा वेग = (१०००)वृक्षाचे वस्तुमान x (क्ष)वृक्षाचा वेग
थोडक्यात वृक्ष हा (५०००x १२/१०००) = ६० मी प्रति सेकंद किंवा २१६ किमी प्रति तास इतक्या प्रचंड वेगाने गडगळत जाईल. वेताळा हे उदाहरण मी केवळ संवेग अक्षय्यता नियमाचे उदाहरण म्हणून सांगितले. असं प्रत्यक्षात होणं अशक्य आहे. आता तोफगोळ्यांचं सांगतो. (आकृती १)
तोफ आणि गोळा यांनाही हा संवेग अक्षय्यता नियम लागू पडतो. म्हणजेच
तोफेचा संवेग – गोळ्याचा संवेग = ०
तोफेचे वस्तुमान(mass) x तोफेचा वेग(velocity) = गोळ्याचे वस्तुमान x गोळ्याचा वेग
तोफगोळा किती लांब डागायचा हे तोफेच्या व गोळ्याच्या वस्तुमानाच्या पटीवर बरचसं अवलंबून असतं. समजा आपण एक १५०० किलोग्राम वजनाची तोफ घेतली आणि तिच्यामध्ये १० किलोचा तोफगोळा ठेवला. जेव्हा तोफेला बत्ती देण्यात आली तेव्हा तो गोळा १५०मी/सेकंद वेगाने गेला तर ती तोफ किती वेगाने मागे येईल?
१५०० (तोफेचे वस्तुमान)x- क्ष (तोफेचा मागे येण्याचा वेग) + १०(गोळ्याचे वस्तुमान)x १५०(गोळ्याचा वेग)=०
याठिकाणी तोफ ही गोळ्याच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेत मागे येत असल्याने ऋण चिन्ह दिले आहे.
तोफेचा मागे येण्याचा वेग (क्ष) = १०x १५०/१५०० = १मी/सेकंद
म्हणजेच तोफेचा मागे येण्याचा वेग गोळ्याच्या वेगापेक्षा कैकपटींनी कमी असतो.”
“पण विक्रमा हा तोफगोळा जेव्हा पडतो तेव्हा काय परिणाम होतो? किती बळ(force) प्रयुक्त होतं याचा तुला काहीच पत्ता लागलेला दिसत नाही? तो परिणाम सुद्धा मोजता येतो का? शिवाय तू विशिष्ट दर्शकाचा दृष्टिकोन असंही काहिसं म्हटलास. तू खूपच शब्दांच्या फैरी उडवतोस. पण आता मला वेळ नाही. मी चाललो. पुन्हा भेटू. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
“वेताळाने उड्डाण केल्यावर विक्रम किती वेगाने मागे गेला?” तिथेच उलटे लटकलेल्या वाघुळाने दुसऱ्याला विचारले.
“संवेग अक्षय्यता नियम लाव. लगेच कळेल.” दुसऱ्याने हिंदोळे घेत शांतपणे उत्तर दिले.
©अनिकेत कवठेकर.

वेग आणि विस्थापन – एकाच नाण्याच्या दोन बाजू (Relation between Velocity and Displacement)

राजा विक्रम जसा वेताळाच्या भेटीसाठी निघत असे तस तस त्याला त्याचं विकट हास्य आठवून थरकाप होई पण त्यापेक्षा जास्त त्याचे प्रश्न ऐकून तो विचारात पडे. त्याप्रश्नांचा विचार करता करता वेताळाचं थरकाप उडवणारं रूप विसरायला होई. कधी कधी हा वेताळच आहे का पूर्व जन्मी शास्त्रज्ञ असलेल्या माणसाचं भूत आहे असेही विचार चमकून जात.
“राजा फार विचार करतोस माझ्या पूर्वजन्माचा. तेवढा विचार माझ्या या प्रश्नाचा कर. एक माणूस एका दगडाला लाथ मारतो. दगडाला स्वत:ची बुद्धी नाही. तो पडून होता. लाथ मारली तेव्हा तो फरफटत गेला. मग या साध्या गोष्टीत तुम्ही विस्थापन (displacement), वेग (velocity), बल (force) वगैरे भुतं का काढली? आणि त्यांना ओळखून काय मिळतं? ज्या वेगाबद्दल तू बोलतोस तो काय एकच असतो? ते भूतही दरक्षणाला वेगवेगळा आकार धारण करतं”
“वेताळा मान्य आहे, या साध्या गोष्टी आहेत, पण माणसांमधल्याच काही विचारी शास्त्रज्ञांनी यांना दिव्य दृष्टीनं पाहिलं आणि त्याहीपेक्षा वेगवेगळ्या कल्पनेच्या करामती करून त्यांना मोजण्याच्या व त्यांना समजून घेण्याच्या युक्त्या काढल्या. तू म्हणतोस ते बरोबर आहे. वेगाचं मोजमाप ही एक मजेशीरच गोष्ट आहे. प्रत्येक क्षणाला तो गोळा किती अंतर जातो हे कसं बघणार तेवढी दृष्टी कोणाला आहे? त्या गोळ्यावर बसून त्याचा वेग कोण मोजणार? पण जिथे जिथे माणूस जाऊ नाही तिथे तिथे माणसाची बुद्धी मात्र गेली. म्हणून काय केलं की एकूण अंतर मोजलं (s) व प्रवासासाठी लागलेला एकूण काळ (t) मोजला. अंतराला काळाने भागलं तर मिळाली चाल (speed). अदीश (scalar) तर मिळाली.”
“अरे कळलं रे..किती वेळा तेच ते सांगशील? मुद्द्याचं बोल..हे सदीश (vector) भूत आणि ही मोजमापं कशी केली?”
“ तेच सांगतोय..हा वेग बदल मोजायला लिबनिझ नावाच्या अंतर्ज्ञानी शास्त्रज्ञाने एक कल-विकल (Derivative-Integration) पद्धत शोधून काढली.”
“कल (derivative) पद्धत म्हणजे?”
“अरे वेताळा चंद्राचं तू पाहतोस. अमावस्येला काहीच नसतो, पौर्णिमेला पूर्ण असतो. मधले दिवस कलाकलांनी वाढत जातो. अमावस्या आणि पौर्णिमा या केवळ काळ पुढे सरकत असल्यामुळे आपणाला दिसणाऱ्या गोष्टी. पण चंद्र तोच असतो. हेच उदाहरण आपण आपल्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास वस्तू जागची हलू लागली की तिला काळामुळे (time) व तिच्या हालचालीमुळे विस्थापन येउन चिकटते. वर आपण जशी चंद्रकला बघितली तशी काही शास्त्रज्ञांनी एका आयताची (rectangle) कल्पना केली, केवळ मोजण्याच्या सोयीसाठी. त्या आयताच्या बाजू म्हणजे काळ (t) आणि वेग (v). याला कारण म्हणजे अंतर = चाल / काळ हे आपल्याला पक्कं माहित आहे. शिवाय आयताचे क्षेत्रफळ (Area of rectangle) = लांबी (length) x रुंदी (breadth) हे ही सिद्ध झालेलं आहे. मग या दोन गोष्टींची सांगड घातली तर काय मिळतं?” (आकृती १)
“अच्छा म्हणजे आयताची लांबी(l) म्हणजे काळ(t), रुंदी(b) म्हणजे वेग (v). वेगाला काळाने गुणले म्हणजे आले विस्थापन (s). म्हणजे विस्थापन  हे त्या आयताचे क्षेत्रफळ (area of rectangle).
वेग (आयताची लांबी) x वेळ(आयताची रुंदी) = विस्थापन(आयताचे क्षेत्रफळ)
राजा मला आयतंच उल्लूक बनवतोयस. यातून काय सिद्ध झालं?”
“अरे वेताळा, असं बंघ. वस्तू जागची हाललीच नाही तर विस्थापन नाही(s=0), म्हणजे वेग (v=0). त्या वस्तूला जोरात ढकललं तर लवलेल्या बळाचा परिणाम म्हणून ती वस्तू पुढे पुढे जात राहील. आता तिच्या प्रवासाचं वर्णन दोन प्रकारांनी करता येईल.
तिच्यावर बलप्रयोग(F) केल्यानं तिला वेग(v) प्राप्त झाला व म्हणून ती  मोजमापासाठी ठरवलेल्या काळात (t) बळाच्या दिशेने काही अंतर(s) गेली. याचं मोजमाप करण्यासाठी सुरुवातीला सरासरी वेग (average velocity) काढू.
सरासरी वेग(V) =  कापलेले अंतर(s) / लागलेला काळ (t). यावरून एक कल्पित आयत काढू. या कल्पित आयताच्या बाजू काळ आणि वेग. समजण्याच्या सोयीसाठी ती वस्तू एकसमान वेगाने (constant velocity) जात आहे असे समजू. आता याच आयताचे अनेक लहान लहान एकसमान उभे तुकडे करूया. आता त्या लहान तुकड्यांसाची रुंदीची बाजू म्हणजे काळाचा भाग एक सेकंद समजूया. म्हणजे दरक्षणाला हा आयत कापला तर प्रत्येक क्षणाचा वेग हा एकसमान म्हणजे V इतकाच आहे. याचाच अर्थ विस्थापन आणि वेग यांच्यात काहीतरी प्रमाण आहे हे निश्चित.
आता बदलणाऱ्या वेगासाठी तिच्या प्रवासाचं वर्णन दुसऱ्या पद्धतीने करु. वरच्या लहान लहान आयतांच्या वरून असे समजू की दरक्षणाचा वेग (Δv) = त्याक्षणाला झालेले विस्थापन (Δs) / तो क्षण (Δt). आता मी असं ठरवलं की दरसेकंदाचा वेग पहायचा. म्हणजे t हा मी एकसमान केला तर मला हे लक्षात येतं की वेग हा विस्थापनाच्या प्रमाणात किंवा विस्थापन हे वेगाच्या प्रमाणातबदलत राहतात. यांचा एक दरसेकंदाचा माग काढू. (आकृती २)
या वरून असं लक्षात येतं की दर सेकंदाला असलेले विस्थापन आणि वेग सारखेच. म्हणजेच विस्थापनाचे दरसेकंदाचे कल (Differential) हे त्या वेळचा वेग होय.
Dv = ds / dt
याच सारणीवरून असंही लक्षात येतंय की सर्व क्षणिक वेगांची बेरीज करत गेलं की त्या पूर्ण प्रवासात कापलेले अंतरही मिळतंय. (आकृती ३)
आयतांच्या क्षेत्रफळांच्या भाषेत  बोलायचं तर
वस्तूने केलेले एकूण विस्थापन (Total Displacement) = v1xt1+v2xt2+…+v10xt10
दर सेकंदाचा कालावधी सारखाच धरला t(t1=t2=t10) तर
अंतर = (v1+v2+…+v10)xt
म्हणजेच वेगबदलांची (differential velocities) बेरिज केली व त्याला प्रमाण काळाने गुणले तर मिळते ते विस्थापन. या उलट अंतराचे क्षणाक्षणाला मोजमाप केले तर काय मिळते ?
वस्तूने t1 मध्ये d1, t2 मध्ये d2, t3 मध्ये d3..t10 मध्ये d10 अशी विस्थापने केली तर क्षणिक वेग काय झाले?
क्षणिकवेग d1/t1, d2/t2, d3/t3…d10/t10 असे झाले. यात t1, t2, t3..t10 हे एक सेकंद मानले तर क्षणिक वेग () हा त्या सेकंदाच्या विस्थापना इतकाच निघाला.
म्हणजे वेगाची उत्त्पत्त्ती ही केवळ विस्थापनामुळे किंवा स्थान बदलामुळे झाली हे कळले. जर विस्थापनच झाले नसते तर d=0 झाल्याने वेग सुद्धा v=d\t या न्यायाने v=0 झाला असता. म्हणूनच विस्थापन आणि वेग यांच्यातलं परस्पर अवलंबित्व सिद्ध करण्यासाठीच कल(Differentiation) आणि विकला(Integration)चा उपयोग केला गेला.  ”
S (विस्थापन) = प्रवासाच्या पूर्ण कालावधीतील प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या तात्कालिक वेगांचे एकत्रीकरण (Integration)
सूक्ष्म काळातला V (वेग) = प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या (Differential) विस्थापनाचे कालाशी असणारे गुणोत्तर”

“अरे राजा किती रे हा शब्दपसारा. पण तू वेगातल्या बदलाबद्दल काहीच बोलला नाहीस? तुम्हाला त्याचं मोजमाप करणं अजून सुचलेले दिसत नाही. पण माझी वेळ झाली व मी निघालो..पुन्हा भेटू..तू अजूनही सुटला नाहीयेस हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

(क्रमश:)

मूळ पान : विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

©अनिकेत कवठेकर.

वस्तुमान व वजन (Mass and Weight)

राजा विक्रम अमावस्येच्या रात्रीचा मुहूर्त साधून पुन्हा त्या पिंपळाखाली आला. मागील वेळी झालेल्या बोलण्याच काही बोल अजूनही त्याच्या मनात रुंजी घालत होते. तो त्याबद्दलच्या विचारातच होता इतक्यात ते वेताळाचं विकट हास्य त्याच्या कानी पडलं.
“ कसला विचार करतोयस राजा? अजूनही मागील बोलण्याचाच विचार करतोस असं दिसतंय. मागील वेळी तू विस्थापन (displacement) सदीश (vector) गोत्री राशी आहे असे काहीसं बोलत होतास आणि झालेलं विस्थापन कार्यकारी बळाच्या दिशेतच (Resultant force) होतं असंही म्हणालास. काय घोळ आहे हा? म्हणजे विस्थापन दिशेवर अवलंबून आहे असं म्हणतोस..त्या अर्थी बलाच्या दिशेतील विस्थापनाला धन आणि बलाच्या विरुद्ध दिशेतील विस्थापनाला ऋण विस्थापन असं म्हणायला जावं तर लगेच म्हणतोस की विस्थापन हे कार्यकारी बळाच्या दिशेतच होते. पटकन सांग नाहीतर तुझा मृत्यू अटळ आहे असं समज..”
खांद्यावर आरुढ होणाऱ्या वेताळाला तोलत राजा विक्रम ती अंधारी वाट चोखाळू लागला, “सांगतो, सांगतो. हे वेताळा आपल्या पुराणांमध्येच जड (matter) आणि अजडाचा (non-matter) भेद केला आहे. जे जागा व्यापतं ते जड आणि जे व्यापत नाही ते अजड. जसा तू दर अमावस्येला शरीरात प्रवेश करतोस आणि माझ्या पाठुंगळी येऊन बसतोस. तुला पाठीवर घेऊन मी चालतो तेव्हा त्या मृत शरीरावर अजून एक भूत एखाद्या वटवाघळासारखं उलटं लटकतं. तेच तू म्हटलास ते  गुरुत्वाकर्षण (Gravitation). न्यूटन नावाच्या एका शास्त्रज्ञाच्या मतानुसार प्रत्येक क्रीयेला प्रतिक्रीया असतेच व ती मूळ क्रीयेच्या विरुद्ध दिशेत होते. या उदाहरणात, पृथ्वी ही तिच्यावर असणाऱ्या सर्वच सजीव – निर्जीवांना पोटात घेण्यात उत्सुक असते. जो पर्यत शरीरात आत्मा आहे तोपर्यंत या गुरुत्वाकर्षणाच्या विरोधात धडपड करीत उभं राहायचं. आत्मा सोडून गेला की पार्थिवाला हे गुरुत्वाकर्षण ओढूनच घेतं. तुझ्या प्रेताचं ओझं घेऊन मी चालतो तेव्हा माझं शरीर आणि तुझं शरीर हे सारंच मला गुरुत्वाकर्षणा विरोधात ओढावं लागतो. पृथ्वीनं लावलेल्या गुरुत्व बलाला मी विरोधी बल लावतो पण ते केवळ उभं राहण्यापुरतं. नाहीतर पृथ्वीच्या बलाला विरोधी बळ लावायला एखादा वामनावतारच जन्माला यावा लागतो.”
“ते तर मलाही माहिती आहे राजा. पण या सर्व भुतांना सदीश (vector) वा अदीश (scalar) गोत्रात घालायची काय गरज? विस्थापनाला तू मागच्या वेळी दिशा असतेस असं म्हणालास..पण ओंडका तोच, रस्ता तोच, खेचणारा तोच..मग ही दिशा का आडवी येते? कुठलं असं भूत आहे जे या दिशेवर पोसतं वा घटतं?”
“अरे वेताळा, त्या ओंडक्याच्या जडपणामुळे वा मी मगाशी म्हटलो त्या प्रमाणे माझ्या शरीराचा ‘जड’पणाच्या मुद्दलावर चढलेल्या तुझ्या शरीराच्या व्याजाच्या एकत्रित परिणामामुळे हे घडते. हा जडपणा अदृश्य असतो. पण तो प्रत्येक स्थिरचराला ग्रासून असतोच. याचेच नाव वस्तुमान (mass). म्हणजे त्या वस्तूच्या कणाकणांना एकत्र सांधणारं असं काहीतरी.”
“अच्छा म्हणजे हे वस्तुमान नावाचं भूत या सर्व दिशेच्या गोष्टी आणतं? म्हणजे हे वस्तुमानही तुमच्या त्या सदीश गोत्रातलं दिसतंय”
“नाही वेताळा. वस्तुमानाला दिशा नसते. ते अदिश गोत्री आहे. पण ते वस्तुमान एखाद्या आळसटलेल्या माणसासारखं वा शंखात लपलेल्या गोगलगायीसारखं धक्का दिल्या शिवाय हलतंच नाही. त्याला सतत ढकलावं लागतं. त्याला ढकलणारी शक्ती व पृथ्वीची खेचणारी शक्ती उतारावर मित्रपक्षासारख्या आघाडी करतात. तेव्हा गतीला विरोध होत नाही. म्हणून कमी श्रमात काम होतं. शक्ती वाचते, तिची धन होते. म्हणून ते धन. उलट चढावरून जाताना वर ढकलणाऱ्या शक्तीला पृथ्वीची खेचकशक्ती आव्हान देते. त्या वस्तूचा जडपणा या खेचणाऱ्या शक्तीला शरण जातो व ढकलणाऱ्याला घाम फुटतो. त्याला अतिरिक्त शक्ती खर्च करावी लागते. रथ ओढणाऱ्या घोड्यानं मान टाकली तर स्वार उतारावरून मागे गेलाच समजायचा. यालाच वस्तुचं जडत्व (inertia) म्हणतात. साहजिकच वस्तूचं वस्तुमान जेवढं जास्त तेवढं ते गतीला अधिक विरोध करणार.”
“अरे विक्रमा, तू एवढं पुराण सांगतोयस..म्हणजे हे जडत्त्व, जडपणा, वस्तुमान व वजन सारखंच वाटायला लागलंय”
“अरे वेताळा, वस्तुमान ही वस्तूची अंदरकी बात असते. मग ती वस्तू मुंगी असो वा हत्ती असो. सूर्य असो वा धुळीचा कण असो  वा छोटासा अणू असो. पण वजन (weight) ही प्रभावाची निदर्शक आहे. राजाच्या दरबारी राजाच्या शब्दालाच सर्वाधिक वजन. त्याप्रमाणेच पृथ्वीजवळच्या सर्वांवर पृथ्वीचाच सर्वाधिक प्रभाव. खरेतर पृथ्वी जेव्हा तिच्यावरील मुंगीला जेव्हा ओढते तेव्हा न्युटनच्या ३ऱ्या नियमाप्रमाणे मुंगीही विरुध्द दिशेत खेचते. पण हे म्हणजे काजव्याने सूर्यापुढे चमकण्याइतकंच हास्यास्पद आहे. वस्तुचे वजन म्हणजे वस्तूवरील पृथ्वीचा प्रभाव.
समजा एक सपाट मैदान आहे. त्यावर सर्वत्र गुरुत्वाकर्षणाचा प्रभाव ‘g’ एवढा आहे. एकच वस्तू त्या मैदानावर कोठेही ठेवली तर तिचे वस्तुमान कायम तेच राहणार व गुरुत्वाकर्षणही कायम तेच राहणार.

 

मग त्या मैदानावर सर्वच ठिकाणी त्या वस्तुचे वजन या आयताच्या क्षेत्रफला इतके म्हणजे mXg  एवढे असणार. थोडक्यात W =m X g
“म्हणजे वस्तूच्या वजनात बदल झाला तर तो गुरुत्वाकर्षणामुळे होतो, वस्तुमानामुळे नाही?”
“अगदी बरोबर वेताळा. तुमचे दरबारातले वजन म्हणजे राजाने दिलेले महत्त्व. राजा बदलला तर वजनही बदलणार. तद्वतच पृथ्वीवरचा पदार्थ चंद्रावर नेला तर चंद्रावरची ‘g’ निराळी, पर्यायाने चंद्रावरचे वजन निराळे. खऱ्यात सांगायचे झाले तर पृथ्वीचा ‘g’ हा चंद्रजींच्या ‘g’ सहापट. म्हणून पृथ्वीवर तुमचं वजन ९०N असेल तर चंद्रावर ते १५N असणार. आणि हो वस्तुमान कि.ग्रा. मधे मोजतात व वजन न्यूटन मध्ये मोजतात.”
“मग राजा तुझ्या राज्यात तर सर्वजण किलोग्राम मध्ये वजन सांगतात. ते चुकीचेच समजायचे का?”
“वेताळा तू एक अद्भुत भूत आहेस. ते फारसे चुकीचे नाहीत. वजन मोजताना तराजूच्या एकापारड्यात माप आणि दुसऱ्या पारड्यात वस्तू ठेवतात. जेव्हा ते सारख्याच वस्तुमानाचे होतात, तेव्हाच त्यांचे वजन सारखे होते व काटा मध्यभागी स्थिर होतो. दोघांच्या वजनात एकदशलक्ष्यांशाइतका फरक वाटला तरीही व्यवहारासाठी तो नगण्यच मानायचा.”
“राजा तू मगाशी चंद्राचा उल्लेख केलास. पण आज अमावस्या. ती तर संपली व उत्तररात्र झाली. हा मी चाललो माझ्या स्थानाकडे. पण वस्तूच्या वजनासारखीच आणखी काही भुते तिला सतत छळत असतात व ती नक्की कशी व कुठे छळतील हे सांगता येत नाही. कसा रे तू? तुला काहीच माहित नाही. पुन्हा येतो तुझ्या मानगुटीवर बसायला. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”
वेताळ ज्या दिशेने गेला त्या वाटेवरील एका पानावर खालील अक्षरे उमटली

 

  • वजन( Weight)= वस्तुमान(Mass) x गुरुत्त्वत्वरण  (g)
  • वजन सदीश असून वस्तुमान अदीश आहे
  • वस्तुमान व जडत्त्वाचा निकटचा संबंध. एवढेच काय तर वस्तूचे जडत्त्व हे वस्तुमानाच्या प्रमाणात असते
  • पृथ्वी व चंद्रावरील वस्तूचे वस्तुमान एकच पण व वजन निराळे.
  • gपृथ्वी = ६ x gचंद्र

(क्रमश:)